έξι διαιρέτες

#1

Για έναν πρώτο

ο αριθμός

έχει ακριβώς έξι διαιρέτες.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του

;

sokpanvas · #2

$A= p^2 + 11= q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}q_{3}^{a_{3}}...q_{k}^{a_{k}}$ τότε ο

έχει $N=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{k}+1)$ διαιρέτες. Αφού N=6

έχουμε ότι $A=q_{1}^{2}q_{2}$ . Για p=2

δεν ισχύει άρα

άρτιοσ τότε για $q_{2}=2$ έχουμε $p^2+11=2q_{1}^{2}$ αλλά $p^2 + 11\equiv 0 mod4$ άρα $q_{1}=2$ και καταλήγουμε σε άτοπο.Για $q_{1}=2$ έχουμε $p^2 + 11= 4q_{2} \Rightarrow (p-1)(p+1)=4(q_{2}-3)$ λύνοντας τα συστήματα καταλήγουμε στην $(p,q_{1},q_{2})=(3,2,5)$

#3

sokpanvas για ξαναδές τα εξής δύο σημεία:

sokpanvas έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 31, 2018 6:34 pm
Αφού έχουμε ότι $A=q_{1}^{2}q_{2}$

Θα μπορούσε να είναι και A=q_1^5

sokpanvas έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 31, 2018 6:34 pm
$(p-1)(p+1)=4(q_{2}-3)$ λύνοντας τα συστήματα καταλήγουμε στην $(p,q_{1},q_{2})=(3,2,5)$

Ποιο ακριβώς σύστημα έλυσες; Φαίνεται να πήρες p-1=4

ή

αλλά δεν βλέπω πώς προκύπτει αφού οι p-1, p+1

δεν
είναι πρώτοι για να μπορούμε να πούμε κάτι τέτοιο.

#4

Επαναφορά.

Ορέστης Λιγνός · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 31, 2018 2:58 pm
Για έναν πρώτο ο αριθμός έχει ακριβώς έξι διαιρέτες.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ;

Καλημέρα κύριε Μιχάλη!

i) Έστω p=2

. Τότε, $p^2+11=15=3 \cdot 5$ , που έχει

διαιρέτες.

ii) Έστω p=3

. Τότε, $p^2+11=20=2^2 \cdot 5$ , που έχει

διαιρέτες.
Οπότε, η τιμή p=3

είναι δεκτή.

iii) Έστω $p \geqslant 5$ .

Τότε, $p^2 \equiv 1 \pmod 4$ , και $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ (αφού ο

είναι περιττός, και $p \neq 3$ ).

Άρα, $p^2+11 \equiv 0 \pmod 4, p^2+11 \equiv 0 \pmod 3$ , οπότε οι

αριθμοί

είναι διαιρέτες του p^2+11

. Όμως, εμείς θέλουμε ακριβώς

διαιρέτες, άτοπο.

Τελικά, $\boxed{p=3}$ .

#6

Ορέστη, ωραιότατα.

Η δική μου λύση είναι παραπλήσια. Την καταγράφω για ποικιλία.

Για $p=2, \, p=3$ ελέγχουμε απευθείας, οπότε διαπιστώνουμε ότι το p=3

μας κάνει. Για $p\ge 5$
οι πρώτοι είναι της μορφής $6k\pm 1$ , οπότε

$p^2+11= (6k\pm 1)^2 +11= (36k^2\pm 12 k + 12)= 12 A$ . Φυσικά A>1

αφού

.

Παρατηρούμε ότι ο 12A

έχει περισσότερους από

διαιρέτες μια και έχει
τουλάχιστον τους 1,2,3,4,6,12, 12A

, οπότε τον απορρίπτουμε.

έξι διαιρέτες

έξι διαιρέτες

Re: έξι διαιρέτες

Re: έξι διαιρέτες

Re: έξι διαιρέτες

Re: έξι διαιρέτες

Re: έξι διαιρέτες

Μέλη σε σύνδεση