Σύγκριση αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Σύγκριση αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Ιουν 11, 2018 3:49 pm

Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος

1234567809^{10^{11}+1}

9876543201^{9\cdot 10^{10}}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 11, 2018 10:19 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 3:49 pm
Γεια σας, ποιος από τους 2 αριθμούς είναι μεγαλύτερος

1234567809^{10^{11}+1}

9876543201^{9\cdot 10^{10}}

Ενδιαφέρουσα άσκηση αλλά δεν νομίζω να κάνει για άσκηση Θεωρίας Αριθμών και μάλιστα σε επίπεδο Α.Ε.Ι. Πιο κοντά κάνει για άσκηση Αριθμητικής/Άλγεβρας σε επίπεδο Juniors.

Θα δείξω ακόμα καλύτερα ότι

9876543201^{9\cdot 10^{10}} < 1234567809^{10^{11}} < 1234567809^{10^{11}+1}}

Έχουμε

9876543201^{9\cdot 10^{10}}= (9\cdot  1097393689)^{9\cdot 10^{10}}=

 = 9^{9\cdot 10^{10}} \cdot  1097393689^{9\cdot 10^{10}} <( {10^{9})^{ 10^{10}} \cdot 1097393689^{9\cdot 10^{10}}

<1234567809^{ 10^{10}} \cdot 1234567809^{9\cdot 10^{10}}= 1234567809^{10^{11}}


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Σύγκριση αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm

Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός X και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός Y να αποδείξετε X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10^{10}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 11, 2018 11:22 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm
Καταλάθος δεν πρόσεξα ότι είναι σε Α.Ε.Ι.. Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών αλλά πριν την δημοσιεύσω θα ήθελα να γενικεύσω την άσκηση Έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός X και έστω δεκαψήφιος ακέραιος πραγματικός αριθμός Y να αποδείξετε X^{10^{11}+1}>Y^{9\cdot 10^{10}}
H λύση μου γενικεύεται ώστε να περιλάβει και αυτή την περίπτωση. Μάλιστα, πάλι ισχυροποιείται το αποτέλεσμα:

Y^{9\cdot 10^{10}}   < (10X)^{9\cdot 10^{10}} = (10^{9})^{10^{10}} \cdot X^{9\cdot 10^{10}} \le X^{10^{10}} \cdot X^{9\cdot 10^{10}}  = X^{10^{11}}

(το δεξί μέλος είναι βέβαια <X^{10^{11}+1})


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Σύγκριση αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Ιουν 12, 2018 12:24 am

ΟΚ η δικιά μου λύση είναι η εξής, έστω μεταβλητός ακέραιος K με σταθερό πλήθος ψηφίων A υψωμένο στον σταθερό ακέραιο k o μικρότερος αριθμός με A πλήθος ψηφίων είναι ο 10^{A-1} άρα Ο K έχει ελάχιστη τιμή (10^{A-1})^{k}=10^{Ak-k} με Ak-k+1 ψηφία. Επείσης ο ελάχιστος αριθμός με A+1 πλήθος ψηφίων είναι ο 10^{A}. Αν τον υψώσουμε στον k έχουμε τον αριθμο (10^{A})^{k}=10^{Ak} με Ak+1 πλήθος ψηφίων οπότε προφανώς ο K έχει λιγότερα από Ak+1 ψηφία, με μέγιστο ααριθμό ψηφίων Ak. Πέρνοντας τους δύο αριθμούς βλέπουμε πως ο X^{10^{11}+1} με 10 ψηφία το X και υψωμένο στο 10^{11}+1 έχει τουλάχιστον Ak-k+1=10(10^{11}+1)-10^{11}-1+1=9\cdot 10^{11}+10 ψηφία ομοίως ο Y^{9\cdot 10^{10}} έχει μέγιστο πλήθος ψηφίων Ak=10\cdot 9\cdot 10^{10}=9\cdot10^{11}. Αφού ο X^{10^{11}+1} έχει πάντα περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 12, 2018 12:33 am

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 11:07 pm
Νομίζω πως η λύση μου έχει σχέση με την θεωρία αριθμών
Χρήστο, δεν βλέπω σχέση με Θεωρία Αριθμών στην λύση σου. Το μόνο που χρειάζεται είναι η γραφή των αριθμών
στο δεκαδικό σύστημα, πράγμα πολύ απλό (γνωστό π.χ. από το Δημοτικό) για να θεωρηθεί Θεωρία Αριθμών


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 12, 2018 5:16 pm

Ας το δούμε λίγο αλλιώς μια και κάνει κάπως πιο ορατή την αιτία της ανισότητας:

Αν X, Y δεκαψήφιοι, τότε ισχύει βέβαια 10^9 \le Y, \, X < 10^{10}. Οπότε για οποιοδήποτε φυσικό m έχουμε

X^{9m} < (10^{10})^{9m} = (10^{9})^{10m} \le Y^{10m}. Τελειώσαμε.

Γενικότερα, αν οι X,Y έχουν από n ψηφία, τότε \boxed {X^{(n-1)m} < Y^{nm}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης