Ακέραιες λύσεις

Xriiiiistos · #1

Να βρεθουν οι ακέραιοι a,b

που να επαληθεύουν το εξής

$\sqrt{a^{2}+2^{a}-2}=b$

min## · #2

Με

"τετριμμενοποιείται"...

Κω.Κωνσταντινίδης · #3

Η εξίσωση γίνεται $2^{\alpha }-2=(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )$

Αν $\alpha < 0$ τότε το αριστερό μέλος είναι δεκαδικό ενώ το δεξί όχι, άτοπο.
Για $\alpha =0$ τότε επιλύοντάς την προκύπτει ότι $\beta ^{2}=-1$ άτοπο.
Για $\alpha =1$ προκύπτει $\beta =+-1$
Για $\alpha \geq 2$ τότε $2(2^{\alpha -1}-1)=(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )$ . Άρα αφού το Α μέλος είναι άρτιος, θα είναι και το Β μέλος άρτιο. Αυτό όμως γίνεται για $\alpha ,\beta$ άρτιους ή α,β περιττούς.

Έστω $\alpha =2\kappa$ και $\beta =2\lambda$ , τότε $2^{2\kappa -1}-1=2(\lambda -\kappa )(\lambda +\kappa )$ . Αφού του β μέλος είναι άρτιο θα είναι και το α άρτιο, άρα $\kappa =\frac{1}{2}$ άτοπο, αφού κ,λ ακέραιοι.
Όμοια και για α,β περιττούς βρίσκουμε $\kappa =0$ άρα $\alpha =1,\beta =+-1$
Συνεπώς μοναδικά ζεύγη είναι τα $(\alpha ,\beta )$ = (1,1)

,

Ακέραιες λύσεις

Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις

Μέλη σε σύνδεση