Τέλειος κύβος

[Mihalis_Lambrou]

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο θερινό σχολείο που έκανα ή συναδέλφους. Απαντώ σε όλα.

Στο μήνυμά του ο αποστολέας λέει ότι το θέμα είναι από διαγωνισμό, Classa VIII, αλλά δεν προσδιορίζει ποιόν διαγωνισμό. Του έστειλα δύο λύσεις, κάπως παρεμφερείς.

[cretanman]

Έχει λύση στους θετικούς ακεραίους η ;

Μόλις την παρέλαβα από Ρουμανία από κάποιον που ζητά βοήθεια. Τέτοια μηνύματα παίρνω κάμποσα. Θα έλεγα 3 με 10 κάθε εβδομάδα, συνήθως από γνωστούς, είτε μαθητές που παρακολούθησαν κάποιο θερινό σχολείο που έκανα ή συναδέλφους. Απαντώ σε όλα.

Στο μήνυμά του ο αποστολέας λέει ότι το θέμα είναι από διαγωνισμό, Classa VIII, αλλά δεν προσδιορίζει ποιόν διαγωνισμό. Του έστειλα δύο λύσεις, κάπως παρεμφερείς.

Μία λύση η οποία ξεφεύγει λίγο από τις γνώσεις του Γυμνασίου αλλά που βγάζει επιπλέον ότι δεν υπάρχουν λύσεις στους ακεραίους είναι η παρακάτω.

Τα κυβικά υπόλοιπα είναι (εύκολο). Συνεπώς πρέπει .

Εξετάζοντας όλες τις περιπτώσεις για το δηλαδή βλέπουμε ότι ο αριθμός δεν είναι ποτέ , άτοπο.

Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Αλέξανδρος

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Παρόμοια λύση:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση στους ακεραίους.
Το πρώτο μέλος είναι της μορφής άρα ο είναι της μορφής οπότε και ο είναι της μορφής
Αν τότε

οπότε ο είναι πολλαπλάσιο του 3
καθώς και ο είναι πολλαπλάσιο του 3 ή
ο είναι πολλαπλάσιο του 3.
Όμως ένα τέλειο τετράγωνο διαιρούμενο με 3 αφήνει υπόλοιπο 0 ή 1, άρα ο διαιρούμενος με 3 αφήνει υπόλοιπο 1 ή 2, άτοπο.

[Mihalis_Lambrou]

Η μία λύση που έκανα είναι σχεδόν σαν του Παύλου, με χρήση του .

Λίγο αλλιώς (αποφεύγοντας τα μόντουλα για να είναι σε επίπεδο Classa VIII), όπως στην λύση του Παύλου είναι οπότε η αρχική ως δευτεροβάθμια ως προς είναι

.

Λόγω αρρητότητας πρέπει η υπόρριζη ποσότητα στον τύπο των ριζών, με διακρίνουσα,




να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο το , που βέβαια δεν είναι.