Άλλη μια ακέραια

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Άλλη μια ακέραια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 23, 2019 1:33 am

Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακέραιους.

615 + x^2 = 2^y


Υ.γ: ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί γιατί κάτι μου θυμίζει!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άλλη μια ακέραια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:13 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 23, 2019 1:33 am
Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακέραιους.

615 + x^2 = 2^y


Υ.γ: ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί γιατί κάτι μου θυμίζει!
Καλημέρα!

Θα βρούμε λύσεις για θετικά x οπότε θα είναι και οι αντίθετές τους (η x=0 απορρίπτεται αφού πρέπει 2^y=615 άτοπο).Επίσης 2^y=615+x^2>615\Rightarrow y\geq 10.
2^y\equiv 615+x^2\pmod 3\Leftrightarrow \left ( -1 \right )^y\equiv x^2 \pmod3\Leftrightarrow y\equiv 0\pmod2
Έστω y=2k,k>4.Η αρχική γράφεται 615=\left ( 2^k+x \right )\left ( 2^k-x \right )\Leftrightarrow 3\cdot 5\cdot 41=\left ( 2^k+x \right )\left ( 2^k-x \right )
Επιπλέον έχουμε k\geq 5\Leftrightarrow 2^k+x> 32
Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι:
\left\{\begin{matrix} & 2^k-x=615 & \\ & 2^k+x=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=616 άτοπο
\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=5\cdot 41 & \\ & 2^k-x=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=208 άτοπο
\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=3\cdot 41 & \\ & 2^k-x=5 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=128\Leftrightarrow k=6\Leftrightarrow y=12,x=59
\left\{\begin{matrix} & 2^k+x=41 & \\ & 2^k-x=15 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\cdot 2^k=56 άτοπο.
Μόνες λύσεις οι \left ( x,y \right )=\left ( 59,12 \right ),\left ( -59,12 \right )


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Άλλη μια ακέραια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:25 am

Μπράβο Πρόδρομε!! :10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης