Διοφαντική εξίσωση!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 921
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Διοφαντική εξίσωση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 09, 2020 10:49 pm

Να προσδιορίσετε όλους του μη αρνητικούς ακεραίους a,b,c ώστε 7^a\cdot 3^b+16=c^2


Λέξεις Κλειδιά:
διοφαντική
εκθετική
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Διοφαντική εξίσωση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Φεβ 10, 2020 12:31 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 09, 2020 10:49 pm
 Να προσδιορίσετε όλους του μη αρνητικούς ακεραίους a,b,c ώστε 7^a\cdot 3^b+16=c^2
Έχουμε, 7^a \cdot 3^b=(c-4)(c+4). Οπότε, c-4=7^x \cdot 3^y και c+4=7^z \cdot 3^t με x,y,z,t μη αρνητικούς ακέραιους.

Αν x,z \geqslant 1, τότε 7 \mid c+4, 7 \mid c-4 \Rightarrow 7 \mid (c+4)-(c-4)=8, άτοπο.
Αν y,t \geqslant 1, τότε ομοίως προκύπτει 3 \mid (c+4)-(c-4)=8, άτοπο.

Οπότε έχουμε τις εξής 4 περιπτώσεις :

\bullet x=0 και y=0. Τότε, c=5 \Rightarrow a=0,b=2.

\bullet x=0 και t=0. Τότε, c-4=3^y, c+4=7^t \Rightarrow 7^t-3^y=8.

Αν y \geqslant 1 έχουμε ότι LHS \equiv 1 \pmod 3 και RHS \equiv 2 \pmod 3, άτοπο.
Αν y=0, τότε 7^t=4, άτοπο.

\bullet z=0 και t=0. Τότε, c+4=1 \Rightarrow c=-3, άτοπο.

\bullet z=0 και y=0. Τότε, c-4=7^x, c+4=3^t, οπότε 3^t=7^x+8.

Αν t \geqslant 3, έχουμε 7^x=3^t-8 \geqslant 21 \Rightarrow x \geqslant 1. Ακόμη 7^x=3^t-8 \equiv 19 \pmod {27}, που δίνει x=9k+3 με k φυσικό.

Ομοίως 3^t \equiv 1 \pmod 7 οπότε t=6m με m φυσικό.

Οπότε, αν 9^m=P, 7^{3k+1}=Q, έχουμε P^3-Q^3=8, ή (P-Q)(P^2+PQ+Q^2)=8 οπότε παίρνουμε τις λύσεις (P,Q)=(0,-2), (2,0) που εύκολα απορρίπτονται.

Αν t \leqslant 2, τότε 7^x=3^t-8 \leqslant 1 \Rightarrow x=0, t=2 και προκύπτει (a,b,c)=(0,2,5).

Τελικά, μόνη λύση η (a,b,c)=(0,2,5).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
2nisic
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Φεβ 06, 2021 1:34 pm

Περνούμε mod8 έχουμε a,b=even(γιατί;) .Άρα η αρχική εξίσωση γίνεται:

16=(c+3^{x}7^{y})(c-3^{x}7^{y})

Από όπου έχουμε ότι 3^{x}7^{y}<16
Όποτε y=0or1,x=0,1,2 .Από δω και πέρα εύκολα.....


Κορυφή
2nisic
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Διοφαντική εξίσωση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Φεβ 06, 2021 7:43 pm

Μίας και είναι σχετικά εύκολη την μετατρέπω λίγο.

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί a,b,c,n τέτοιοι ώστε:

3^{a}7^{b}+2^{c}=n^{2}


:santalogo: Αν a=0 έχουμε την :7^b+2^c=n^2
Που έχει λυθεί εδώ:
viewtopic.php?f=182&t=68909#p335035

Άρα έχουμε της λύσης :(a,b,c,n):(0,1,1,3),(0,2,5,9),(0,0,3,3)



:santalogo: Αν a\geq 1 τότε:
Με mod3 έχω c=2x και έτσι έχω:

3^{a}7^{b}=(n+2^{x})(n-2^x)

Επειδή (n+2^x,n-2^x)=1 έχουμε της ακόλουθες 4 περίπτωσης

:logo: n-2^x=3^a7^b και n+2^x=1 που είναι προφανές πως είναι αδύνατο


:logo: n-2^x=1 και n+2^x=3^a7^b
Ισοδύναμα n=1+2^x και 2^(x+1)+1=3^a7^b
Κοιτάζοντας mod 7 έχω 2^(x+1)+1=2,3,5(mod7) δηλαδή πρέπει b=0 οπότε λύνουμε την:

2^(x+1)+1=3^a που είναι γνωστή .1)Με zigmondy τελιωνη εύκολα.2)Αν x+1<2,Αν x+1>1 με mod4 έχω a=even και αφερεση τετραγώνων......

Άρα έχουμε της λύσης :(a,b,c,n):(1,0,0,2),(2,0,4,5)


:logo: n-2^x=3^a και n+2^x=7^b ισοδύναμα n=3^a+2^x και 3^a+2^(x+1)=7^b
Περνοντας mod3 έχουμε x+1=even . Διακρίνουμε τίς περίπτωσης:

case 1 Ανx+1=2 έχουμε την: 3^a+4=7^b που έχει λύση τηνa=b=1 .Αν a>1 τότε την γράφουμε στην μορφή:
3(3^(a-1)-1)=7(7^(b-1)-1)
7|RHS\Leftrightarrow 7|LHS\Leftrightarrow 7|3^{a-1}-1\Leftrightarrow a-1\equiv 0(mod6)

13|3^{6}-1|LHS\Leftrightarrow 13|RHS\Leftrightarrow 13|7^{b-1}-1\Leftrightarrow b-1\equiv 0(mod12)
Όμως τότε:
9|RHS\Leftrightarrow 9|LHS\Leftrightarrow 3|3^{a-1}-1
Το οποίο είναι αδύνατο.

Άρα στην case 1 έχουμε της λυση :(a,b,c,n):(1,1,2,5)



case 2 x+1\geq 4 τότε με mod8 έχω a=2w,b=2z:
2^{x+1}=(7^{z}-3^{w})(7^{z}+3^{w}).
Επειδή (7^{z}-3^{w},7^{z}+3^{w})=2 έχω της ακόλουθες2 περιπτώσεις:

case 2i 7^{z}-3^{w}=2^xκαι 7^{z}+3^{w}=2 που είναι αδύνατη αφούa\geq 1\Rightarrow w\neq 0


case 2ii 7^{z}-3^{w}=2και 7^{z}+3^{w}=2^x ισοδύναμα 7^{z}=2+3^{w} και 2+2*3^{w}=2^x
3^w+1=2^(x-1) περνοντας mod8 έχω3^{w}+1\equiv 2or4(mod8)
Άρα x-1=1or2\displaystyle{\Rightarrow}w=0,1 αλλά τότε δεν ισχύει η 7^{z}=2+3^{w}



:logo: n-2^x=7^b και n+2^x=3^a ισοδύναμα n=2^x+7^bκαι 2^(x+1)+7^b=3^a
Με mod3 έχω x+1=odd. Διακρίνουμε 2 περίπτωσης:

case1 Αν x+1=1 έχουμε: 2+7^b=3^a
Δίνω δύο λύσεις σε αυτήν:

first solution Αν b=0 έχω a=1
Αν b\geq 1 με mod 7 έχω a=2(mod6)\displaystyle{\Rightarrowa=even
Και έχουμε λύση την 7^a+2=n^2

second solution Αν b=0,1 έχω a=1,2 αντίστοιχα.
Αν b>1 τότε :
7^{b}\equiv 25(mod27)\Leftrightarrow b\equiv 13(mod18)
Με mod 19 έχω:
LHS\equiv 7+2\equiv 9(mod19)\Leftrightarrow 3^{a}\equiv 9(mod19)\Leftrightarrow a\equiv 2(mod18)
Όμως τώρα με mod 37 έχω :
LHS\equiv 7^{13}+2\equiv 33+2\equiv 35(mod37)
RHS\equiv 3^{2}\equiv 9(mod37)
Αδύνατο

Άρα έχουμε τής λύσης:(a,b,c,n):(1,0,0, 2),(0,0,3,3),(2,1,0,8)



case2 Ανx+1\geq 3
Με mod8 έχω b=2z και a=2w και μετατρέπεται στην:
2^{x+1}=(3^{w}+7^{z})(3^{w}-7^{z})
Επειδή (3^{w}+7^{z},3^{w}-7^{z})=2 έχω της ακόλουθες 2 περίπτωσης

case 2i Αν 3^{w}+7^{z}=2 και 3^{w}-7^{z}=2^x που είναι προφανές αδύνατη

case 2ii Αν 3^{w}+7^{z}=2^x και 3^{w}-7^{z}=2
Ισοδύναμα:7^{z}=2^x -3^{w} και 2*3^w=2^x+2}\Leftrightarrow 3^{w}=2^{x-1}+1
Την οποία την λύσαμε και πριν και έτσι έχουμε:(w,x-1):(1,1),(2,3)


Άρα η περίπτωση case 2ii δεινή τής λύσης:(a,b,c,n):(2,0,4, 5),(4,2,8,65)





:santalogo: Άρα όλες οι λύσης είναι(a,b,c,n):(0,1,1,3),(0,2,5,9),(0,0,3,3),(1,0,0,2),(2,0,4,5),(1,1,2,5),(2,1,0,8),(4,2,8,65)


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Aba και 6 επισκέπτες