Διοφαντική

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #1

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:

$4^{x}+3^{y}=7^{z}$

,όπου x,y,z

θετικοί ακέραιοι.

min## · #2

έχουμε:
$4^x\equiv 4,(16,64,256,304,136,184) mod 360$ (στην παρένθεση οι κλάσεις που επαναλαμβάνονται)
$3^y\equiv 3,(9,27,81,243) mod 360$ (ομοίως)
$7^z\equiv (7,49,343,241,247,289,223,121,127,169,103,1) mod 360$ (ομοίως).
Βλέπουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει mod 360

για κλάσεις μέσα στις παρενθέσεις,οπότε αναγκαστικά x=1

ή

.
Μάλιστα αν $y=1,x\geq 2$ βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,δε γίνεται να υπάρχει ισότητα.
Επομένως:
Αν y=1,x=1

παίρνουμε την τετριμμένη λύση (1,1,1)

.
Αλλιώς, x=1

και $y\geq 2$ .
Βλέποντας πάλι τις παρενθέσεις,πρέπει $z\equiv 5 mod 12$ ,οπότε παίρνοντας mod 13

πρέπει $4+3^y\equiv 11 mod 13$ δηλαδή $3^y\equiv 7 mod 13$ που προφανώς δε γίνεται.
Άρα δεν υπάρχουν άλλες λύσεις..
Υγ.Deja Vu (με άλλον τρόπο όμως)

Ορέστης Λιγνός · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: Κυρ Μαρ 22, 2020 8:52 pm Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση:

$4^{x}+3^{y}=7^{z}$

,όπου θετικοί ακέραιοι.

Καλησπέρα Δημήτρη και Μίνο.

Διακρίνω 2 περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: Είναι $x \geqslant 2$ . Τότε, $7^z-3^y \equiv 0 \pmod 4$ . Τότε, $(-1)^z-(-1)^y \equiv 0 \pmod 4$ , οπότε $y \equiv z \pmod 2$ .

$\rightarrow$ Αν $y \equiv z \equiv 1 \pmod 2$ , τότε y=2k+1,z=2m+1

με

φυσικούς. Άρα, $4^x=7^z-3^y=7 \cdot 49^m-3 \cdot 9^k \equiv 4 \pmod 8$ , οπότε έχουμε άτοπο (αν $x \geqslant 2$ , τότε $4^x \equiv 0 \pmod 8$ ).

$\rightarrow$ Αν $y \equiv z \equiv 0 \pmod 2$ , τότε y=2B, z=2A

με

θετικούς ακεραίους. Οπότε, (7^A-3^B)(7^A+3^B)=4^x

.

Άρα,

και

με

φυσικούς. Είναι, $2^C=7^A-3^B \equiv 1 \pmod 3$ , άρα $2 \mid C$ , οπότε $C \geqslant 2$ , και επίσης $2^D-2^C=2 \cdot 3^B>0 \Rightarrow D \geqslant C+1 \geqslant 3$ .

Συνεπώς, $4 \mid 2^D-2^C=2 \cdot 3^B$ , άτοπο.

Περίπτωση 2: Είναι x=1

. Τότε

.

$\rightarrow$ Αν $y \geqslant 2$ , τότε $7^z \equiv 4 \pmod 9$ , οπότε z=3s+2

με

φυσικό. Επίσης, $3^y \equiv 3 \pmod 7$ , άρα y=6t+1

με

θετικό ακέραιο.

Άρα, προκύπτει $49 \cdot 343^s-3 \cdot 729^t=4$ . Παίρνοντας $\pmod {19}$ στη σχέση αυτή έχω ότι $49- 3 \cdot 7^t \equiv 4 \pmod {19}$ , άρα $7^t \equiv 15 \pmod {19}$ , που είναι άτοπο (εύκολο παίρνοντας $t=3f+\upsilon$ με $\upsilon \in \{0,1,2 \}$ ).

$\rightarrow$ Αν y=1

,τότε

και προκύπτει η λύση (x,y,z)=(1,1,1)

.

Τελικά, μόνη λύση η (x,y,z)=(1,1,1)

.

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση