Με διαιρέτες

#1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους

που έχουν

θετικούς διαιρέτες $d_1, d_2, . . ., d_{16}$ για τους οποίους ισχύει

$1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \ \ \ d_6 = 18 \$ και $\ d_9 − d_8 = 17.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:42 pm
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους που έχουν θετικούς διαιρέτες $d_1, d_2, . . ., d_{16}$ για τους οποίους ισχύει

$1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n, \ \ \ d_6 = 18 \$ και $\ d_9 − d_8 = 17.$

Επειδή οι $\left \{ 1,2,3,6,9,18 \right \}$ είναι διαιρέτες του

που διαιρεί τον $\rm n$ θα είναι και διαιρέτες του $\rm n$ .Είναι λοιπόν $\rm d_1=1,d_2=2,d_3=3,d_4=6,d_5=9,d_6=18$ .
Έστω ο $\rm n$ στην κανονική του μορφή $\displaystyle {\rm n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}}$ .Τότε είναι γνωστό πως το πλήθος των διαιρετών του θα είναι $\displaystyle {\rm \prod_{i=1}^{k}(a_i+1)}$ .Έχουμε λοιπόν πως $\displaystyle {\rm \prod_{i=1}^{k}(a_i+1)=16}$ .
Επειδή $\rm a_i\geq 1 \forall i$ και $\rm 2,3\mid n$ θα είναι $\rm 2\leq k\leq 4$ .
Επειδή όμως $\rm \upsilon _3(n)\geq 2$ η τιμή

απορρίπτεται (τότε θα έπρεπε $\rm a_1=a_2=a_3=a_4=1$ ).
Αν $\rm k=2$ τότε αφού $\rm \upsilon _2(n)=1$ θα είναι $\rm a_1=1$ και $\rm a_2=7$ ,τότε θα είναι $\rm n=2\cdot 3^7$ για το οποίο όμως δεν μπορεί να ισχύει $\rm d_9 − d_8 = 17$ αφού τα $\rm d_9,d_8$ θα έχουν κοινό παράγοντα.

Είναι λοιπόν $\rm k=3$ και έτσι $\rm 16=(1+1)(a_2+1)(a_3+1)\Rightarrow a_2+1=1,2,4$ .Επειδή $\rm a_2 \geq 2$ έπεται πως $\rm a_2=3,a_3=2$ και έτσι $\rm n=2\cdot 3^3\cdot p$ με $\rm p$ πρώτο $\geq 19$ .
Εξετάζω τις εξής περιπτώσεις:

$\rm p> 54$
Τότε θα είναι $\rm d_7=27,d_8=54,d_9=p$ και έτσι θα πρέπει $\rm p-54=17 \Leftrightarrow p=71$ δεκτό άρα μία λύση η $\rm n=2 \cdot 3^3\cdot 71=3834$ .

$\rm 27<p<54$
Τότε $\rm d_7=27,d_8=p,d_9=54$ (αφού $\rm 2p>54$ ) και έτσι $\rm p=37$ δεκτό άρα μια άλλη λύση η $\rm n=2 \cdot 3^3\cdot 37=1998$

Για $\rm n<27$ τότε $\rm d_7=p,d_8=27,d_9=2p$ (αφού $\rm 2p<54$ ) και έτσι $\rm 2p-27=17 \Leftrightarrow 2p=44 \Leftrightarrow p=22$ που απορρίπτεται.

Άρα $\rm n=3834,1998$ .

#3

Με διαιρέτες

Με διαιρέτες

Re: Με διαιρέτες

Re: Με διαιρέτες

Μέλη σε σύνδεση