Διαιρετότητα
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Διαιρετότητα
Καλημέρα Πρόδρομε,
Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονική τους μορφή, οι πρώτοι αριθμοί θα είναι οι ίδιοι σε κάθε αριθμό. Το μόνο που θα αλλάζει θα είναι ο εκθέτης στον οποίο είναι υψωμένος ο πρώτος αριθμός.
Για κάθε πρώτο διαιρέτη και των τριών αριθμών ισχύει (από τις δοθείσες συνθήκες):
Θεωρούμε (δεν αλλάζει κάτι αν θεωρούμε κάθε περίπτωση. Απλά θα μας βγει λίγο παραπάνω περιπτωσιολογία)
Πρέπει και αρκεί να δείξουμε ότι
Όμως πάλι από τις συνθήκες προκύπτει ότι(1) και (2).
Με πρόσθεση των (1),(2) το ζητούμενο έπεται.
Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονική τους μορφή, οι πρώτοι αριθμοί θα είναι οι ίδιοι σε κάθε αριθμό. Το μόνο που θα αλλάζει θα είναι ο εκθέτης στον οποίο είναι υψωμένος ο πρώτος αριθμός.
Για κάθε πρώτο διαιρέτη και των τριών αριθμών ισχύει (από τις δοθείσες συνθήκες):
Θεωρούμε (δεν αλλάζει κάτι αν θεωρούμε κάθε περίπτωση. Απλά θα μας βγει λίγο παραπάνω περιπτωσιολογία)
Πρέπει και αρκεί να δείξουμε ότι
Όμως πάλι από τις συνθήκες προκύπτει ότι(1) και (2).
Με πρόσθεση των (1),(2) το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από Κω.Κωνσταντινίδης σε Σάβ Ιούλ 04, 2020 8:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Διαιρετότητα
Πολύ ωραία Μια χαρά νομίζω είναι η αιτιολόγηση, και εγώ ακριβώς αυτή την λύση είχα στο νου.Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 04, 2020 10:08 amΚαλημέρα Πρόδρομε,
Μια λύση στα γρήγορα. Θα επανέλθω με εκτενέστερη αιτιολόγηση αν υπάρχει κάποια ασάφεια. Καταρχάς παρατηρούμε ότι δεν γίνεται να υπάρχει πρώτος διαιρέτης ενός εκ των τριών αριθμών που να μην διαιρεί έστω και έναν από τους υπόλοιπους δύο. Οπότε αν γράψουμε τους αριθμούς στην κανονική τους μορφή, οι πρώτοι αριθμοί θα είναι οι ίδιοι σε κάθε αριθμό. Το μόνο που θα αλλάζει θα είναι ο εκθέτης στον οποίο είναι υψωμένος ο πρώτος αριθμός.
Για κάθε πρώτο διαιρέτη και των τριών αριθμών ισχύει (από τις δοθείσες συνθήκες):
Θεωρούμε (δεν αλλάζει κάτι αν θεωρούμε κάθε περίπτωση. Απλά θα μας βγει λίγο παραπάνω περιπτωσιολογία)
Πρέπει και αρκεί να δείξουμε ότι
Όμως πάλι από τις συνθήκες προκύπτει ότι(1) και (2).
Με πρόσθεση των (1),(2) το ζητούμενο έπεται.
Να προσθέσω ότι η άσκηση είναι γενίκευση ενός θέματος από κυπριακό διαγωνισμό,συγκεκριμένα Δ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2013-1ο πρόβλημα.
Ακολουθώντας ακριβώς το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να δείξουμε το εξής ακόμη γενικότερο:
Αν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε με τότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες