Διοφαντική Εξίσωση- Δύσκολη?

Joaakim · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z)

που ικανοποιούν την εξίσωση
4^x + 5^y = z^2

llenny · #2

Καλημέρα. Θέλουμε: $4^x + 5^y = z^2 \Leftrightarrow 5^y = z^2 - (2^x)^2 \Leftrightarrow 5^y = (z - 2^x)(z + 2^x)$ . Επειδή το 5 είναι πρώτος θέλουμε και οι δύο παράγοντες να είναι πολλαπλάσια του 5. Άρα έχουμε: $z - 2^x &\equiv 0 \pmod{5} \\$ Άρα $2^x + 2^x &\equiv 0 \pmod{5} \\ \Leftrightarrow 2^{x+1} &\equiv 0 \pmod{5} \\$ . Άτοπο. Η μόνη περίπτωσεις που μας μένουν είναι για y= 0,1

. Για

δεν έχουμε λύση, ενώ για y = 1

, παίρνουμε χ = 1

και

. Άρα οι μόνες τριάδες λύσεων είναι οι παρακάτω: (x,y,z) = (1,1,3)

. (Αν δε χάνω κάτι όπως συνηθίζω.

) Διόρθωση μετά από παράτηρηση του Joaakim γιατί είχα συμπεριλάβει και αρνητικό ακέραιο στις λύσεις ενώ η εξίσωση είναι στους φυσικούς. (Είναι βέβαια προφανές ότι αν ένας ακέραιος

είναι λύση για κάποια (x,y)

, θα είναι και ο αρνητικός του, αν δεν έχουμε τον περιορισμό στους φυσικούς.

2nisic · #3

Να βρεθούν οι φυσικοί x,y,z

τετοιοι ώστε:

$2^{x}+5^{y}=z^2$

Πολύ γρήγορα:

Αν

έχουμε $2^{x}+1=z^2$ κάνω αφαίρεση τετραγώνων με τον άσσο

Αν $y\geq 1$ με mod5

και έχουμε την:

$4^{a}+5^{y}=z^2$

Διοφαντική Εξίσωση- Δύσκολη?

Διοφαντική Εξίσωση- Δύσκολη?

Re: Διοφαντική Εξίσωση- Δύσκολη?

Re: Διοφαντική Εξίσωση- Δύσκολη?

Μέλη σε σύνδεση