Θεωρία αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Θεωρία αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 9:01 pm

Βρείτε τους αριθμούς n για τους οποίους όλοι οι αριθμοί που σχηματίζονται με n-1 ψηφία= 1και ένα ψηφίο =7 είναι πρώτοι.
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Παρ Ιαν 15, 2021 9:30 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 9:22 pm

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 9:01 pm
Βρείτε τους αριθμούς nγια τους οποίους όλοι οι αριθμοί που σχηματίζονται με n-1 ψηφία= 1και ένα ψηφίο =7 είναι πρωτη.
Για διόρθωσε σε παρακαλώ την ανορθογραφία στην τελευταία λέξη (δύο λάθη).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 10:39 pm

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 9:01 pm
Βρείτε τους αριθμούς n για τους οποίους όλοι οι αριθμοί που σχηματίζονται με n-1 ψηφία= 1και ένα ψηφίο =7 είναι πρώτοι.
Ευχαριστώ για την διόρθωση της ανορθογραφίας. Συγγνώμη που επιμένω αλλά δεν φαίνεται να σου είπε ποτέ κανείς πόσο σημαντικό είναι να γράφουμε σωστά ελληνικά. Μικρά λάθη και απροσεξίες, εννοείται, δικαιολογούνται. Αλλά υπάρχουν όρια, και πιστεύω ότι με την επιμονή μου σου κάνω ένα ουσιαστικό καλό.

Στο θέμα μας.

Για μικρούς αριθμούς ελέγχουμε με το χέρι. Π.χ. για n=2 οι 17,\, 71 είναι και οι δύο πρώτοι, οπότε το n=2 είναι ένας από τους ζητούμενους. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι. Το μυστικό είναι ότι ο αριθμός 111111 (έξι άσοι) είναι πολλαπλάσιο και του 3, και του 7 και του 13.

Παρατηρούμε τώρα ότι

α) ο 117 είναι πολλαπλάσιο του 3

β) ο 7111 είναι πολλαπλάσιο του 13

γ) ο 11711 είναι πολλαπλάσιο του 7

δ) ο 111117 είναι πολλαπλάσιο του 3

ε) ο 1111117 είναι πολλαπλάσιο του 7

στ) ο 11171111 είναι πολλαπλάσιο του 7

Τώρα, ας εξετάσουμε για δεδομένο n\ge 3 τους αριθμούς που γράφονται με n-1 άσους και ένα 7. Κάποιος από αυτούς έχει ως αρχικό κομμάτι έναν από τους παραπάνω έξι αριθμούς α) έως στ) και μετά ακολουθείται από 6k άσους για κάποιο k. Άρα είναι πολλαπλάσιο στα σίγουρα ενός από τους 3,\,7, \, 13, οπότε είναι σύνθετος.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 11:39 pm

Είναι προφανές πως για n=0(mod 3) τότε ο αριθμός που φτιάχνουμε θα διαιρείται
με το 3

Εξετάζουμε με το χέρι τις περιπτώσεις n=1,2,4,5 .Από αυτές μόνο η 1,2 είναι λύσεις.

Για n>6 και n=1,2(mod 3).Οι αριθμοί που έχω είναι της μορφής:
\displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}}
Παρατηρώ ότι το 6*10^{k} παίρνει όλα τα υπόλοιπα mod 7.Οποτε υπάρχει k για τον οποίο ο αριθμός \displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}} διαιρείται με το 7

Άρα n=1,2
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Δευ Ιαν 18, 2021 8:49 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 16, 2021 12:52 am

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 11:39 pm
Είναι προφανές πως για n=0(mod 3) τότε ο αριθμός που φτιάχνουμε θα διερητε με το 3

Εξετάζουμε με το χέρι της περίπτωσης n=1,2,4,5 .Από αυτές μόνο η 1,2 είναι λύσης

Για n>6 και n=1,2(mod 3).Οι αριθμη που έχω είναι της μορφής:
\displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}}
Παρατηρώ ότι το 6*10^{k} παίρνει όλα τα υπόλοιπα mod 7.Οποτε υπάρχει k για τον οποίο ο αριθμός \displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}} διαιρείται με το 7

Άρα n=1,2
Ωραία λύση.

Κάνε σε παρακαλώ το κόπο να διορθώσεις τα απίστευτα ορθογραφικά λάθη. Πρώτον γιατί αυτό είναι το σωστό και, άλλωστε, το απαιτούν οι κανονισμοί μας. Δεύτερον, για να μην δίνεις την εντύπωση ότι μας γράφεις στα παλιά σου τα παπούτσια:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 10:39 pm
... Συγγνώμη που επιμένω αλλά δεν φαίνεται να σου είπε ποτέ κανείς πόσο σημαντικό είναι να γράφουμε σωστά ελληνικά. Μικρά λάθη και απροσεξίες, εννοείται, δικαιολογούνται. Αλλά υπάρχουν όρια, και πιστεύω ότι με την επιμονή μου σου κάνω ένα ουσιαστικό καλό.
Με την ευκαιρία διόρθωσε σε παρακαλώ και τα φοβερά ορθογραφικά λάθη στο ποστ σου νούμερο 3 εδώ.

Αν δυσκολεύεσαι με την γλώσσα, καλό είναι να βρεις ένα spell checker από το ίντερνετ, δωρεάν, που θα σε καθοδηγεί στην σωστή ορθογραφία.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 16, 2021 8:38 am

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 11:39 pm
Είναι προφανές πως για n=0(mod 3) τότε ο αριθμός που φτιάχνουμε θα διαιρειται με το 3

Εξετάζουμε με το χέρι τις περίπτωσις n=1,2,4,5 .Από αυτές μόνο η 1,2 είναι λύσης.

Για n>6 και n=1,2(mod 3).Οι αριθμοι που έχω είναι της μορφής:
\displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}}
Παρατηρώ ότι το 6*10^{k} παίρνει όλα τα υπόλοιπα mod 7.Οποτε υπάρχει k για τον οποίο ο αριθμός \displaystyle{\frac{10^{n}-1}{9}+6*10^{k}} διαιρείται με το 7

Άρα n=1,2
Ευχαριστώ για τις διορθώσεις. Μερικές δεν είναι σωστές, οπότε γράφω τις σωστές:

διαιρειται ---- πρέπει "διαιρείται" (με τόνο)

τις περίπτωσις ... (δύο λάθη) πρέπει "τις περιπτώσεις" (σωστή θέση τόνου και στον πληθυντικό γράφεται με ει)

λύσης ---- πρέπει "λύσεις" (στον πληθυντικό γράφεται με ει)

αριθμοι---- πρέπει "αριθμοί" (με τόνο)

Επίσης στο ποστ που παρέπεμψα γράφεις μετά την διόρθωση
2nisic έγραψε:
Παρ Δεκ 04, 2020 12:27 pm
Θέμα 1 είναι όμοιο με το θέμα τόν νέων στην Ρουμανία το 1998.
τόν νέων----- πρέπει "των νέων" (χωρίς τόνο στο μονοσύλλαβο και με ω αφού είναι γενική πληθυντικού, όχι αιτιατική ενικού)

Παλαιότερα είχες την λέξη "τον μηκρον" που την έσβησες, πιθανότατα γιατί δες ξέρεις πώς γράφεται. Αν είναι έτσι, αξίζει να επισημάνω ότι η σωστή γραφή είναι "των μικρών".

Ελπίζω να τηρήσεις την πρακτική να γράφεις σωστά. Θα σου είναι χρήσιμος οδηγός στο μέλλον ενώ το αντίθετο μπορεί να σου δημιουργήσει σοβαρά προβλήματα, χωρίς λόγο. Τα Μαθηματικά σου είναι σίγουρα εξαιρετικά, και καλό είναι να μην τα επισκιάζεις με πτωχό περίβλημα. Τι τάξη πας;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης