Από Κορέα

Joaakim · #1

Καλησπέρα σας! Ορίστε μία όμορφη άσκηση που συνάντησα

Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς l,m,n

, τέτοιους ώστε
5^l 43^m+1=n^3

.

2nisic · #2

Κάνω αφαίρεση κύβων και επειδή οι παρενθέσεις είναι πρώτοι μεταξύ τούς έχω:

$n^{2}+n+1=5^{x}43^{y}$
Το οποίο είναι αδύνατο

$n-1=5^{x}$
$n^{2}+n+1=43^{y}$
Οπότε:
$5^{2x}+3*5^{x}+3=43^{y}$
Αν $x\geqslant2$ αδύνατη διότι:
$43^{y}\equiv +-1,+-18(mod25)$
Αν x=1

έχω

και

$n-1=43^{y}$
$n^{2}+n+1=5^{x}$
Οπότε: $43^{2y}+3*43^{y}+3=5^{x}$
Με mod3

έχω

Αδύνατο με mod8

Άρα μοναδική λύση την (x,y,n):(1,1,6)

2nisic · #3

Δεύτερος τρόπος ποίο εύκολος για να αποδειχθεί ότι n^2+n+1=5^x

Προφανώς αν x=0

έχω

Αν $x\geq1$ έχω:

$n^{2}+n+1\equiv 0(mod5)\rightarrow 4*n^{2}+4n+4\equiv (mod5)\rightarrow (2n+1)^{2}+3\equiv 0(mod5)\rightarrow a^{2}\equiv 2(mod5)$
Πράγμα που είναι προφανές αδύνατο

Από Κορέα

Από Κορέα

Re: Από Κορέα

Re: Από Κορέα

Μέλη σε σύνδεση