Θεωρία αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Θεωρία αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Ιαν 30, 2021 8:38 pm

Να βρεθούν όλοι οι x,y \varepsilon \mathbb{Z} τέτοιοι ώστε:

(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 31, 2021 10:35 am

2nisic έγραψε:
Σάβ Ιαν 30, 2021 8:38 pm
Να βρεθούν όλοι οι x,y \varepsilon \mathbb{Z} τέτοιοι ώστε:

(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}
Μία λύση είναι η y=0 και x οτιδήποτε, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε y\ne 0.

Ισοδύναμα (αφού απλοποιήσουμε έναν κοινό παράγοντα y) γράφεται

(y+3)x^2+(1-3y)x+2y^2=0.

Ως δευτεροβάθμια ως προς x έχει διακρίνουσα (1-3y)^2-8y^2(y+3)=(1-8y)(y+1)^2. Άρα 1-8y=n^2 (όπου βέβαια n περιττός) και άρα

x= \dfrac{-(1-3y)\pm n(y+1)}{2(y+3)}

Βάζοντας το y που βρήκαμε, δηλαδή  y=(1-n^2) /8 θα βρούμε (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις)

x= -\dfrac {(n+1)^2}{2n+10} και x= \dfrac {(n-1)^2}{2n-10} (είναι ίδιες με -n στην θέση του n). Κρατάμε χωρίς βλάβη την πρώτη. Άρα

 x= -\dfrac {1}{2} \left ( n-3+ \dfrac {16}{n+5} \right ) από όπου n+5=\pm 1,\, \pm 2, \pm 4, \pm 8 , \, \pm 16 , και λοιπά. Τα υπόλοιπα απλό συμμάζεμα.

Συμπλήρωμα αργότερα: Βάζοντας αυτές τιμές στο n βρήκα λύσεις τις α) x=9,\,y=-6 που προκύπτει από την n=-7, β) x=8,\,y=-10 που προκύπτει από την n=-9, γ) x=9,\,y=-21 που προκύπτει από την n=-13 και δ) x=y=-1 από την n=\pm 3. Έκανα και έλεγχο στην αρχική, και επαληθεύουν.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Δευ Φεβ 01, 2021 9:41 pm

Μπορούμε νά δώσουμε ποίο εύκολη λύση.
Το βλέπω σάν τρίωνημο ως προςy τότε D=x(x-8)(x+1)^2.

Άρα θα πρέπει : x(x-8)=A^2.......


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13338
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 01, 2021 11:09 pm

2nisic έγραψε:
Δευ Φεβ 01, 2021 9:41 pm
Μπορούμε νά δώσουμε ποίο εύκολη λύση.
Το βλέπω σάν τρίωνημο ως προςy τότε D=x(x-8)(x+1)^2.

Άρα θα πρέπει : x(x-8)=A^2.......
Την έχω υπόψη και αυτή την λύση. Επειδή έχει παρόμοιο πλήθος πράξεων, τουλάχιστον όπως το έκανα, έγραψα μόνο την μία λύση.

Για λόγους πληρότητας γράφω επιγραμματικά πώς προχωράμε. Το κάνω με δύο τρόπους.

Πρώτος τρόπος: x(x-8)=A^2, άρα (x-4+A)(x-4-A) = 16. Έπεται x-4+A= \pm 1,\, \pm 2, \pm 4 \, \pm 8 ,\,\pm 16 και συγχρόνως x-4-A =\mp 16,\, \mp 8, \,\mp 4,\,\mp 2,\,\mp 1. Εξετάζουμε τώρα τα 10 αυτά ζεύγη και με προσθεφαίρεση βρίσκουμε τα x,A και από εκεί τα y.

Δεύτερος τρόπος: Είναι x^2-8x-A^2=0 οπότε η διακρίνουσα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, εδώ 64+4A^2=B^2 . Άρα 16+A^2=C^2, οπότε
(C+A)(C-A) = 16 και όπως πριν έχουμε C+A,\, C-A ίσον οι διαιρέτες του 16, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες