mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 30, 2021 8:38 pm**

Να βρεθούν όλοι οι $x,y \varepsilon \mathbb{Z}$ τέτοιοι ώστε:

$(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 31, 2021 10:35 am**

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 30, 2021 8:38 pm
Να βρεθούν όλοι οι $x,y \varepsilon \mathbb{Z}$ τέτοιοι ώστε:

$(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3}$

Μία λύση είναι η y=0

και

οτιδήποτε, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε $y\ne 0$ .

Ισοδύναμα (αφού απλοποιήσουμε έναν κοινό παράγοντα

) γράφεται

(y+3)x^2+(1-3y)x+2y^2=0

.

Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα (1-3y)^2-8y^2(y+3)=(1-8y)(y+1)^2

. Άρα

(όπου βέβαια

περιττός) και άρα

$x= \dfrac{-(1-3y)\pm n(y+1)}{2(y+3)}$

Βάζοντας το

που βρήκαμε, δηλαδή y=(1-n^2) /8

θα βρούμε (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις)

$x= -\dfrac {(n+1)^2}{2n+10}$ και $x= \dfrac {(n-1)^2}{2n-10}$ (είναι ίδιες με

στην θέση του

). Κρατάμε χωρίς βλάβη την πρώτη. Άρα

$x= -\dfrac {1}{2} \left ( n-3+ \dfrac {16}{n+5} \right )$ από όπου $n+5=\pm 1,\, \pm 2, \pm 4, \pm 8 , \, \pm 16$ , και λοιπά. Τα υπόλοιπα απλό συμμάζεμα.

Συμπλήρωμα αργότερα: Βάζοντας αυτές τιμές στο

βρήκα λύσεις τις α) $x=9,\,y=-6$ που προκύπτει από την n=-7

, β) $x=8,\,y=-10$ που προκύπτει από την n=-9

, γ) $x=9,\,y=-21$ που προκύπτει από την n=-13

και δ)

από την $n=\pm 3$ . Έκανα και έλεγχο στην αρχική, και επαληθεύουν.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 01, 2021 9:41 pm**

Μπορούμε νά δώσουμε ποίο εύκολη λύση.
Το βλέπω σάν τρίωνημο ως προς

τότε

.

Άρα θα πρέπει : x(x-8)=A^2

.......

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 01, 2021 11:09 pm**

2nisic έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 01, 2021 9:41 pm
Μπορούμε νά δώσουμε ποίο εύκολη λύση.
Το βλέπω σάν τρίωνημο ως προς τότε .

Άρα θα πρέπει : .......

Την έχω υπόψη και αυτή την λύση. Επειδή έχει παρόμοιο πλήθος πράξεων, τουλάχιστον όπως το έκανα, έγραψα μόνο την μία λύση.

Για λόγους πληρότητας γράφω επιγραμματικά πώς προχωράμε. Το κάνω με δύο τρόπους.

Πρώτος τρόπος: x(x-8)=A^2

, άρα