Θεωρία Αριθμών

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Θεωρία Αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 05, 2021 10:14 am

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι \overline{xyz} τέτοιοι ώστε:

\overline{xyz}=x+y+z+xy+xz+zy+xyz




Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι \overline{xyzw} τέτοιοι ώστε:

\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw


Μπορούμε να γενικεύουμε;



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Θεωρία Αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Φεβ 07, 2021 6:01 pm

Είναι 100x+10y+z=x+y+z+xy+yz+zx+xyz
\Leftrightarrow 99x+9y=xy+yz+zx+xyz
Αλλά xyz\leq 81x το = όταν y=z=9
xy\leq 9x το = όταν y=9
xz\leq 9x το = όταν z=9
zy \leq 9y το = όταν z=9
Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
99x+9y\geq xy+yz+zx+xyz με το = όταν y=z=9
Άρα \overline{xyz}=199 \ \acute \eta \ 299 ...\ \acute \eta \ 999
Για τη 2η περίπτωση εργαζόμαστε με όμοιο τρόπο:
\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw
\Leftrightarrow 999x+99y+9z=xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw
Όπως παραπάνω:
xy\leq 9x
xz\leq 9x
xw\leq 9x
yz\leq 9y
yw\leq 9y
zw\leq 9z
xyz\leq 81x
xyw\leq 81x
xzw\leq 81x
yzw\leq 81y
xyzw\leq 729x
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:
xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw\leq 999x+99y+9z
Το = όταν y=z=w=9
Άρα \overline{xyzw}=1999 \ \acute \eta \ 2999 ...\ \acute \eta \ 9999
Παρόμοια θα είναι και η γενίκευση για την οποία θα προσπαθήσω να επανέλθω


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θεωρία Αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Κυρ Φεβ 07, 2021 6:34 pm

Για την γενίκευση χρισοιμοποιουμε την ταυτότητα:

9^{a}+\binom{a}{1}9^{a-1}+....+\binom{a}{a-1}9=9^{a}+\binom{a}{1}9^{a-1}+....+\binom{a}{a-1}9+1-1=(9+1)^{a}-1=10^{a}-1


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θεωρία Αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Κυρ Φεβ 07, 2021 7:19 pm

Κάποιος επίσης θα μπορούσε να παραγοντοποιήσει ως εξής
10 \overline {xy}=(xy+x+y)(z+1), και να ασχοληθεί με mod.2 και mod.5.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρία Αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 07, 2021 7:59 pm

2nisic έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:14 am
Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι \overline{xyz} τέτοιοι ώστε:

\overline{xyz}=x+y+z+xy+xz+zy+xyz




Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι \overline{xyzw} τέτοιοι ώστε:

\overline{xyzw}=x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw


Μπορούμε να γενικεύουμε;

α) Για το πρώτο και μάλιστα με την ασθενέστερη υπόθεση \overline{xyz}\le x+y+z+xy+xz+zy+xyz.

Γράφεται \displaystyle{100x+10y\le (xy+x+y)(z+1) \,(*)}.

Άρα \displaystyle{100x+10y\le 10 (xy+x+y) } ή 10x+y\le xy +x+y και άρα 9x\le xy, οπότε \boxed{y=9}.

Πίσω στην (*) έχουμε 100x+90\le  (10x+9)(z+1), ισοδύναμα 10\le z+1, οπότε \boxed{z=9}. Και λοιπά.

β) Για το δεύτερο με την ασθενέστερη υπόθεση

\overline{xyzw}\le x+y+z+w+xy+xz+xw+yz+yw+zw+xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw.

Γράφεται \displaystyle{1000x+100y+10z \le (xyz+xy+xz+yz+x+y+z)(w+1)\, (*)}, άρα

\displaystyle{1000x+100y+10z \le 10 (xyz+xy+xz+yz+x+y+z)}, οπότε

\displaystyle{100x+10y+z \le xyz+xy+xz+yz+x+y+z}. Από το πρώτο μέρος είναι \boxed{y=z=9}.

Πίσω στην (*) είναι \displaystyle{1000x+990 \le (100x+99)(w+1) }, ισοδύναμα 10 \le w+1, άρα \boxed {w=9}.

Η ίδια τεχνική γενικεύεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης