Συνθήκη για διαδοχικούς

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Συνθήκη για διαδοχικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 12, 2021 10:52 am

Έστω a,b,c θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι οι a,b,c είναι διαδοχικοί (με κάποια σειρά) αν και μόνο αν ισχύει η ισότητα:

a^{3}+b^{3}+c^{3}=3(a+b+c+abc)



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 155
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Συνθήκη για διαδοχικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Φεβ 12, 2021 12:12 pm

Αν είναι διαδοχικοί τότε a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3[a+(a+1)+(a+2)+a(a+1)(a+2)] το οποίο μετά από τις πράξεις αποδεικνύεται πως ισχύει
Αν a^3+b^3+c^3-3abc=3(a+b+c)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=3(a+b+c)
\stackrel{a+b+c>0}{\Leftrightarrow} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6
Η μοναδική τριάδα τέλειων τετραγώνων, των οποίων το άθροισμα ισούται με 6 είναι η 1,1,4
Έτσι χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε:
(a-b)^2=1 άρα οι a,b είναι διαδοχικοί (1)
(b-c)^2=1 άρα οι b,c είναι διαδοχικοί (2)
(c-a)^2=1 άρα οι c,a είναι διαφορετικοί (3)
Από τις παραπάνω 3 σχέσεις, οι a,b,c είναι διαδοχικοί


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης