Συνθήκη για διαδοχικούς

2nisic · #1

Έστω

θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι οι a,b,c

είναι διαδοχικοί (με κάποια σειρά) αν και μόνο αν ισχύει η ισότητα:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3(a+b+c+abc)$

Manolis Petrakis · #2

Αν είναι διαδοχικοί τότε a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3[a+(a+1)+(a+2)+a(a+1)(a+2)]

το οποίο μετά από τις πράξεις αποδεικνύεται πως ισχύει
Αν $a^3+b^3+c^3-3abc=3(a+b+c)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=3(a+b+c)$
$\stackrel{a+b+c>0}{\Leftrightarrow} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6$
Η μοναδική τριάδα τέλειων τετραγώνων, των οποίων το άθροισμα ισούται με

είναι η

Έτσι χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε:
(a-b)^2=1

άρα οι

είναι διαδοχικοί (1)

άρα οι

είναι διαδοχικοί (2)

άρα οι

είναι διαφορετικοί (3)

Από τις παραπάνω

σχέσεις, οι a,b,c

είναι διαδοχικοί

Συνθήκη για διαδοχικούς

Συνθήκη για διαδοχικούς

Re: Συνθήκη για διαδοχικούς

Μέλη σε σύνδεση