Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

mathematicauser
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Δευ Φεβ 15, 2021 7:27 pm

Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathematicauser » Παρ Φεβ 19, 2021 8:38 am

Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες (m,n) όπου m,n μη αρνητικοί ακέραιοι.
Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω (a,b) στη θέση (a+i,b+j) όπου i,j έχουν υπάρξει συντεταγμένες θέσεων που κάποτε καταλάμβαναν ένας από τους δύο Πολεμιστές. Συγκεκριμένα, αν κάποτε ένας Πολεμιστής βρισκόταν στη θέση (i,y_1) ή (x_1,i) και στη (j,y_2) ή (x_2,j), τότε και τα δύο πιόνια έχουν τη δυνατότητα να μεταφερθούν από τη θέση (a,b) στη (a+i,b+j). Έστω ότι αρχικά οι δύο Πολεμιστές βρίσκονται στις θέσεις (4,0) και (0,5) αντίστοιχα. Ποια είναι όλα τα πιθανά τετράγωνα που μπορούν να καταληφθούν από Πολεμιστή μετά από πεπερασμένο πλήθος κινήσεων;
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Φεβ 19, 2021 10:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε Latex



Λέξεις Κλειδιά:
2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 19, 2021 11:55 pm

mathematicauser έγραψε:
Παρ Φεβ 19, 2021 8:38 am
Θεωρούμε μία άπειρη σκακιέρα όπου κάθε τετράγωνο έχει συντεταγμένες (m,n) όπου m,n μη αρνητικοί ακέραιοι.
Έστω ότι υπάρχει ένα πιόνι που ονομάζεται Πολεμιστής. Αν υπάρχουν δύο Πολεμιστές πάνω στη σκακιέρα, μπορούμε να κινήσουμε τον καθένα από τη θέση που βρίσκεται έστω (a,b) στη θέση (a+i,b+j) όπου i,j έχουν υπάρξει συντεταγμένες θέσεων που κάποτε καταλάμβαναν ένας από τους δύο Πολεμιστές. Συγκεκριμένα, αν κάποτε ένας Πολεμιστής βρισκόταν στη θέση (i,y_1) ή (x_1,i) και στη (j,y_2) ή (x_2,j), τότε και τα δύο πιόνια έχουν τη δυνατότητα να μεταφερθούν από τη θέση (a,b) στη (a+i,b+j). Έστω ότι αρχικά οι δύο Πολεμιστές βρίσκονται στις θέσεις (4,0) και (0,5) αντίστοιχα. Ποια είναι όλα τα πιθανά τετράγωνα που μπορούν να καταληφθούν από Πολεμιστή μετά από πεπερασμένο πλήθος κινήσεων;

:logo:( προς τα δεξιά) Παρατηρούμε πως μπορούμε να πάμε στα σημεία :(x,0) με x=16,17,18,19

:logo: (ανεβένωντας τώρα προς τα πάνω) Παρατηρούμε ότι μπορούμε να πάρουμε ένα πλήρες τετραγώνω 4*4 (με κοριφες τα (16,12),(16,15),(19,15),(19,12).
Πράγμα που σημαίνει πώς μπορούμε να πάρουμε όλα τα σημεία με συντεταγμένες:(16+x,12+y) με x,y θετικοί ακέραιοι

Θα επανέλθω για το τι γίνεται κάτω, αριστερά από το τετράγωνο

Edit1: Δεν ξέρω αν υπάρχει ποίο γρήγορος τρόπος για κάτω από το τετράγωνο.
Με το χέρι σημειώνω σε ποια σημεία μπορώ να πάω μέχρι να βρω και στης 16στηλες,12σηρες 4 διαδοχικά σημεία.
(4 διαδοχικά ονομάζω όταν έχω τα:(x,y),(x,y+1),(x,y+2),(x,y+3)or(x,y),(x+1,y),(x+2,y),(x+3,y))

Edit2 Έχω μεταφέρει την σκακιέρα σε ορθωκανονικο σύστημα και θεωρώ πως τα σημεία με άκαιρες συντεταγμένες είναι τα τετράγωνα της σκακιέρας.
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Κυρ Φεβ 21, 2021 5:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Σάβ Φεβ 20, 2021 2:04 pm

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη εστί ώστε αν η πολεμιστές ξεκινάνε από τα σημεία(0,a),(b,0)να υπάρχει σημείο τέτοιοι ώστε από το σημείο αυτό πάνω ή δεξιά να μπορούν να πάνε οι πολεμιστές (στην άσκηση προηγούμενος σημείο που έχει αυτή την ιδιότητα είναι το (16,12))


math2021
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 18, 2021 3:53 pm

Re: Θέμα προκριματικού Λευκορωσίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από math2021 » Κυρ Φεβ 21, 2021 1:04 am

Καλησπέρα, δε θα μπορούσε ο πολεμιστής να βρεθεί και σε άλλα τετράγωνα όπως το (8,0)? (ενδεχομένως κάτι να μην έχω καταλάβει στη λύση σας, θα το εκτιμούσα αν με βοηθούσατε :D )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης