Δύναμη πρώτου
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Δύναμη πρώτου
Βρείτε όλες τις τριάδες (a, b, c) θετικών ακεραίων έτσι ώστε το γινόμενο
να ισούται με τη δύναμη κάποιου πρώτου αριθμού.
να ισούται με τη δύναμη κάποιου πρώτου αριθμού.
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύναμη πρώτου
Έστω ότι είναι δύναμη του πρώτου . Τότε κάθε ένα εκ των είναι δύναμη του . Έστω . Δηλαδή ισχύει ότι με θετικούς ακεραίους με τουλάχιστον ένα να μην είναι πολλαπλάσιος του .
Τα είναι επίσης δυνάμεις του , και άρα και πολλαπλάσια του αφού δεν μπορούν να ισούνται με . Τότε έχω από το οποίο παίρνω . Ομοίως παίρνω και . Αφού όμως τα δεν είναι όλα πολλαπλάσια του τότε πρέπει .
Με το ίδιο σκεπτικό, αν τα είναι όλα μεγαλύτερα ή ίσα του (και άρα πολλαπλάσια του ) θα έχω . Δηλαδή . Ομοίως παίρνω και που είναι άτοπο.
Άρα τουλάχιστον ένα εκ των είναι ίσο με ή .
Αν τότε και έχω και . Τότε . Εύκολα καταλήγουμε σε και . Έχουμε λοιπόν την τριάδα που δίνει ως λύσεις τις τριάδες με μη αρνητικό ακέραιο.
Αν τότε έχουμε να εξετάσουμε τις περιπτώσεις . Οι και απορρίπτονται αφού τότε το θα ήταν πολλαπλάσιο του , άτοπο.
Αν τότε και που δίνει . Καταλήγουμε σε και που είναι άτοπο. (Αφού ένα εκ των δεν είναι πολλαπλάσιο του .)
Αν τότε και που δίνει . Καταλήγουμε σε και . Έχουμε λοιπόν την τριάδα που δίνει ως λύσεις τις τριάδες με μη αρνητικό ακέραιο. Μαζί με αυτές έχουμε ασφαλώς και όλες τις κυκλικές μεταθέσεις τους.
Τα είναι επίσης δυνάμεις του , και άρα και πολλαπλάσια του αφού δεν μπορούν να ισούνται με . Τότε έχω από το οποίο παίρνω . Ομοίως παίρνω και . Αφού όμως τα δεν είναι όλα πολλαπλάσια του τότε πρέπει .
Με το ίδιο σκεπτικό, αν τα είναι όλα μεγαλύτερα ή ίσα του (και άρα πολλαπλάσια του ) θα έχω . Δηλαδή . Ομοίως παίρνω και που είναι άτοπο.
Άρα τουλάχιστον ένα εκ των είναι ίσο με ή .
Αν τότε και έχω και . Τότε . Εύκολα καταλήγουμε σε και . Έχουμε λοιπόν την τριάδα που δίνει ως λύσεις τις τριάδες με μη αρνητικό ακέραιο.
Αν τότε έχουμε να εξετάσουμε τις περιπτώσεις . Οι και απορρίπτονται αφού τότε το θα ήταν πολλαπλάσιο του , άτοπο.
Αν τότε και που δίνει . Καταλήγουμε σε και που είναι άτοπο. (Αφού ένα εκ των δεν είναι πολλαπλάσιο του .)
Αν τότε και που δίνει . Καταλήγουμε σε και . Έχουμε λοιπόν την τριάδα που δίνει ως λύσεις τις τριάδες με μη αρνητικό ακέραιο. Μαζί με αυτές έχουμε ασφαλώς και όλες τις κυκλικές μεταθέσεις τους.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης