Διοφαντική εξίσωση

#1

Να βρείτε τους ακέραιους m,n

για τους οποίους

$\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$

Manolis Petrakis · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 21, 2022 1:14 am
Να βρείτε τους ακέραιους για τους οποίους

$\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$

Καλημέρα σας κ. Θανάση!
Αφού το 2ο μέλος είναι περιττός τότε και n=2k+1

. Άρα:
$(2k+1)^{2k}=4m^2+2m+3$
$\Leftrightarrow 4(2k+1)^{2k}=16m^2+8m+12$
$\Leftrightarrow [2(2k+1)^k]^2=(4m+1)^2+11$
$\Leftrightarrow [2(2k+1)^k-4m-1][2(2k+1)^k+4m+1]=11$
Πλέον μένει να λύσουμε 4 συστήματα:
$\displaystyle{\begin{cases} 2(2k+1)^k-4m-1=11 \\ 2(2k+1)^k+4m+1=1 \end{cases}}$
$\displaystyle{\begin{cases} 2(2k+1)^k-4m-1=1 \\ 2(2k+1)^k+4m+1=11 \end{cases}}$
$\displaystyle{\begin{cases} 2(2k+1)^k-4m-1=-11 \\ 2(2k+1)^k+4m+1=-1 \end{cases}}$
$\displaystyle{\begin{cases} 2(2k+1)^k-4m-1=-1 \\ 2(2k+1)^k+4m+1=-11 \end{cases}}$
•Από το 1ο και το 2ο σύστημα με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι $4(2k+1)^k=12\Leftrightarrow (2k+1)^k=3\Leftrightarrow k=1$ . Τώρα με αντικατάσταση το 1ο δίνει $m=-\dfrac{3}{2}$ (απορρίπτεται) ενώ το 2ο δίνει m=1

.
•Από το 3ο και το 4ο σύστημα με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι $4(2k+1)^k=-12\Leftrightarrow (2k+1)^k=-3$ η οποία είναι αδύνατη στο $\mathbb{Z}$ .
Άρα (m,n)=(1,3)

.

#3

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση