Ιδιοκατασκευή
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Ιδιοκατασκευή
Μια άσκηση μου( ελπίζω να είναι σωστή η επιλογή φακέλου )
Να αποδειχθεί ότι η παράσταση δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου ένας θετικός ακέραιος
Να αποδειχθεί ότι η παράσταση δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου ένας θετικός ακέραιος
τελευταία επεξεργασία από Batapan σε Δευ Μάιος 08, 2023 1:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μπατακόγιας Παναγιώτης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ιδιοκατασκευή
Αρκεί να δείξουμε πως η εξίσωση:
είναι αδύνατη για θετικούς ακέραιους.
Παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα κύβων είναι .
(Από το little Fermat theorem ισχύει:
Αν .
Αν .
Αν .)
Παίρνοντας λοιπόν :
από όπου παρατηρούμε πως το είναι της μορφής και με αντικατάσταση (και αν όπου ) βγαίνει:
Θέτουμε όπου και , και λύνοντας ως προς την πρώτη και με αντικατάσταση στην δεύτερη προκύπτει το τριώνυμο:
Που έχει διακρίνουσα:
Για βγαίνει αρνητική διακρίνουσα.
Για η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Συνεπώς, η εξίσωση είναι αδύνατη, άρα η αρχική παράσταση δεν μπορεί να είναι τέλειος κύβος.
είναι αδύνατη για θετικούς ακέραιους.
Παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα κύβων είναι .
(Από το little Fermat theorem ισχύει:
Αν .
Αν .
Αν .)
Παίρνοντας λοιπόν :
από όπου παρατηρούμε πως το είναι της μορφής και με αντικατάσταση (και αν όπου ) βγαίνει:
Θέτουμε όπου και , και λύνοντας ως προς την πρώτη και με αντικατάσταση στην δεύτερη προκύπτει το τριώνυμο:
Που έχει διακρίνουσα:
Για βγαίνει αρνητική διακρίνουσα.
Για η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Συνεπώς, η εξίσωση είναι αδύνατη, άρα η αρχική παράσταση δεν μπορεί να είναι τέλειος κύβος.
Ντερέκης Γρηγόρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες