Σύνολο με ιδιότητα
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Σύνολο με ιδιότητα
Θεωρούμε θετικό ακέραιο . Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίω με την εξής ιδιότητα:
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής
με τα να είναι ακέραιοι.
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής
με τα να είναι ακέραιοι.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Σύνολο με ιδιότητα
Απάντηση: Αν , τότε δεν υπάρχει κανένα τέτοιο σύνολο . Αν τότε .ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Οκτ 09, 2023 7:34 pmΘεωρούμε θετικό ακέραιο . Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίων με την εξής ιδιότητα:
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής
με τα να είναι ακέραιοι.
Πράγματι, είναι άμεσο ότι για τέτοιο σύνολο δεν υπάρχει, ενώ για γνωρίζουμε ότι κάθε έχει μοναδική αναπαράσταση σε βάση , άρα προκύπτει ότι το πιο πάνω σύνολο όντως ικανοποιεί. Μένει να αποδείξουμε ότι είναι και το μοναδικό. Εργαζόμαστε επαγωγικά. Έστω:
για κάθε ισχύει ότι αν τότε με .
Για η ισχύει, καθώς αν τότε το δεν γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του .
Αν ισχύει η για κάθε , τότε αν το είναι δύναμη του , τότε το δεν γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός μικρότερων στοιχείων του (λόγω μοναδικότητας της αναπαράστασης σε βάση ), άρα αναγκαστικά . Αν πάλι δεν είναι δύναμη του , τέτοια αναπαράσταση υπάρχει, και αφού είναι μοναδική πρέπει , όπως θέλαμε.
Χρησιμοποιώντας τώρα την ισχύ της προκύπτει ο ζητούμενος χαρακτηρισμός του συνόλου .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες