Άσκηση - Πολυεργαλείο

Lymperis Karras · #1

Σε ένα τουρνουά τέννις που έγινε σε μια καλοκαιρινή κατασκήνωση, ο αριθμός των αγοριών που συμμετείχαν ήταν διπλάσιος από τον αριθμό των κοριτσιών που συμμετείχαν. Κάθε δύο από τους μετέχοντες έπαιξαν μεταξύ τους μόνο μια φορά και κανένα παιχνίδι δεν έληξε ισόπαλο. Ο λόγος του συνολικού αριθμού νικών που πέτυχαν τα κορίτσια προς το συνολικό αριθμό που πέτυχαν τα αγόρια ήταν $\dfrac{7}{5}$ . Πόσα παιδιά συμμετείχαν στο τουρνουά?

Είναι ωραίες τέτοιες ασκήσεις και εν όψει Αρχιμήδη ό,τι πρέπει για προετοιμασία.

2nisic · #2

Έστω

το πλήθος των κοριτσιών και

το πλήθος των νικών τών αγοριών έναντι τών κοριτσιών τότε:
$\frac{5}{12}\binom{3n}{2}=\binom{2n}{2}+m$
$\frac{7}{12}\binom{3n}{2}=\binom{n}{2}+2n^2-m$

Lymperis Karras · #3

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 22, 2021 12:32 pm
Έστω το πλήθος των κοριτσιών και το πλήθος των νικών τών αγοριών έναντι τών κοριτσιών τότε:
$\frac{5}{12}\binom{3n}{2}=\binom{2n}{2}+m$
$\frac{7}{12}\binom{3n}{2}=\binom{n}{2}+2n^2-m$

Ναι. Θα χαρώ πολύ να δω και την ολοκλήρωση της λύσης.

2nisic · #4

Το μέγιστο πλήθος νικών τών κοριτσιών είναι $2n^2+\frac{n(n-1)}{2}$
Το ελάχιστο πλήθος νικών τών αγοριών είναι 2n^2-n

Οπότε: $\frac{7}{5}\leq \frac{2n^2+\frac{n(n-1)}{2}}{2n^2-n}\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow n^2-3n\leq 0$

Άρα n=1,2,3

.Για

εύκολα δεν ισχύει.Για n=3

προφανώς και ισχύει όταν ισχύει η ισότητα δηλαδή όταν τούς αγώνες μεταξύ ενός αγοριού και ενός κοριτσιού κερδίζει το κορίτσι.

Lymperis Karras · #5

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 22, 2021 5:28 pm
Το μέγιστο πλήθος νικών τών κοριτσιών είναι $2n^2+\frac{n(n-1)}{2}$
Το ελάχιστο πλήθος νικών τών αγοριών είναι

Οπότε: $\frac{7}{5}\leq \frac{2n^2+\frac{n(n-1)}{2}}{2n^2-n}\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow n^2-3n\leq 0$

Άρα .Για εύκολα δεν ισχύει.Για προφανώς και ισχύει όταν ισχύει η ισότητα δηλαδή όταν τούς αγώνες μεταξύ ενός αγοριού και ενός κοριτσιού κερδίζει το κορίτσι.

Και λίγο διαφορετικά:
Ο αριθμός των παιχνιδιών μεταξύ αγοριών είναι $\dbinom{2n}{2}=n(2n-1)$

Αυτοί οι αγώνες έχουν μετρηθεί και στο συνολικό πλήθος $\dfrac{5n(3n-1)}{8}$ που κέρδισαν τα αγόρια. Άρα είναι

$\dfrac{5n(3n-1)}{8} \geq n(2n-1) \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow n \leq 3$

και λοιπά...

#6

JBMO 2000
https://artofproblemsolving.com/community/c6h6099p20786

Ενδιαφέρουσα άσκηση!

Άσκηση - Πολυεργαλείο

Άσκηση - Πολυεργαλείο

Re: Άσκηση - Πολυεργαλείο

Re: Άσκηση - Πολυεργαλείο

Re: Άσκηση - Πολυεργαλείο

Re: Άσκηση - Πολυεργαλείο

Re: Άσκηση - Πολυεργαλείο

Μέλη σε σύνδεση