Πίνακας n x n

#1

Προσδιορίστε για ποιους φυσικούς αριθμούς

ένας πίνακας $n\times n$ μπορεί να συμπληρωθεί με τους αριθμούς 2 και −1 έτσι ώστε
ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη να είναι ίσο με 0.

#2

socrates έγραψε: Τετ Αύγ 31, 2022 4:36 pm Προσδιορίστε για ποιους φυσικούς αριθμούς ένας πίνακας $n\times n$ μπορεί να συμπληρωθεί με τους αριθμούς 2 και −1 έτσι ώστε
ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη να είναι ίσο με 0.

Απάντηση: Αν και μόνον αν n=3k

.

Για

έχουμε τον $A= \begin{pmatrix} 2 & -1 &-1 \\ -1 &2 &-1 \\ -1&-1 &2 \end{pmatrix}$ .

Aν κάποιος $n\times n$ πίνακας έχει την ζητούμενη ιδιότητα και αν η πρώτη του γραμμή έχει

δυάρια, τότε αναγκαστικά θα έχει

αριθμούς

αφού το άθροισμα της γραμμής είναι

. Έπεται

. Μένει να δείξουμε ότι κάθε $3k\times 3k$ πίνακας μπορεί να συμπληρωθεί κατάλληλα. Αλλά αυτό είναι εύκολο χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα

από

φορές σε κάθε γραμμή και στήλη, συγκεκριμένα ως

$\begin{bmatrix} A & A & ... &A \\ A & A & ... &A\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A & A & ... &A \end{bmatrix}$

Πίνακας n x n

Πίνακας n x n

Re: Πίνακας n x n

Μέλη σε σύνδεση