ΠΙΟΝΙ ΣΕ ΣΚΑΚΙΕΡΑ

#1

Ένα πιόνι βρίσκεται στο κεντρικό τετράγωνο μιας σκακιέρας διαστάσεων 13 επί 13. Εκτελεί 6 διαδοχικές κινήσεις επιλέγοντας κάθε φορά να κινηθεί κατά ένα τετράγωνο μπροστά, πίσω, αριστερά η δεξιά με την ίδια πιθανότητα για κάθε επιλογή. Ποιά είναι η πιθανότητα μετά τις 6 αυτές κινήσεις να επιστρέψει στο ίδια τετράγωνο; Γενίκευση για

το πλήθος κινήσεις σε αντίστοιχη μεγαλύτερη σκακιέρα.

duamba · #2

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 05, 2025 11:48 pm
Ένα πιόνι βρίσκεται στο κεντρικό τετράγωνο μιας σκακιέρας διαστάσεων 13 επί 13. Εκτελεί 6 διαδοχικές κινήσεις επιλέγοντας κάθε φορά να κινηθεί κατά ένα τετράγωνο μπροστά, πίσω, αριστερά η δεξιά με την ίδια πιθανότητα για κάθε επιλογή. Ποιά είναι η πιθανότητα μετά τις 6 αυτές κινήσεις να επιστρέψει στο ίδια τετράγωνο; Γενίκευση για το πλήθος κινήσεις σε αντίστοιχη μεγαλύτερη σκακιέρα.

Εφόσον το πιόνι αλλάζει θέση με κάθε κίνηση, τότε για να μπορεί να επιστρέψει στο κέντρο θα πρέπει ο αριθμός των κινήσεων να είναι άρτιος, και κάθε κίνηση πρέπει να "ακυρώνεται" απο την "συμπληρωματική" της.

Άρα για 6 κινήσεις ψάχνουμε το άθροισμα των αναγραμματισμών των λέξεων:

ΚΚΚΠΠΠ
ΑΑΑΔΔΔ
ΚΠΑΔΑΔ
ΚΠΚΠΑΔ

όπου τα Κ,Π,Δ,Α συμβολίζουν τις κινήσεις κάτω, πάνω, δεξιά, αριστερά.

Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο αναγραμματισμών $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \cdots \cdot n_k!}$ έχουμε:

$2\frac{6!}{3! \cdot 3!} + 2\frac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 2!} = 400$

που είναι ο αριθμός των επιτυχημένων επιστροφών του πιονιού στο κέντρο.

Το σύνολο των πιθανών κινήσεων είναι 4^6 = 4096

και άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\frac{400}{4096} = \frac{25}{256} \approx 0.098$ .

Με στόχο την γενίκευση ελέγχω τις περιπτώσεις όπου n=2

και

:

Για

είναι: $2\frac{4!}{2! \cdot 2!} + \frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}$

Για n=4

είναι: $2\frac{8!}{4! \cdot 4!} + 2\frac{8!}{1! \cdot 1! \cdot 3! \cdot 3!} + \frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}$

Παρατηρώντας ότι κάθε άθροισμα έχει n+1

όρους καταλήγω στον τύπο:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \frac{(2n)!}{i! \cdot i! \cdot (n-i)! \cdot (n-i)!}$

ΠΙΟΝΙ ΣΕ ΣΚΑΚΙΕΡΑ

ΠΙΟΝΙ ΣΕ ΣΚΑΚΙΕΡΑ

Re: ΠΙΟΝΙ ΣΕ ΣΚΑΚΙΕΡΑ

Μέλη σε σύνδεση