Κύκλοι και κοινά σημεία

#1

Δίνονται πέντε κύκλοι ώστε κάθε τέσσερις από αυτούς να έχουν κοινό σημείο. Να δειχθεί ότι οι πέντε κύκλοι έχουν κοινό σημείο.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1963

#2

Έστω $\mathcal{C}_i,$ $\displaystyle{i = 1,2, \ldots ,5,}$ οι δοσμένοι κύκλοι.

Υποθέτουμε ότι

$\displaystyle{A \in {\mathcal{C}_1} \cap {\mathcal{C}_2} \cap {\mathcal{C}_3} \cap {\mathcal{C}_4},}$
$\displaystyle{B \in {\mathcal{C}_1} \cap {\mathcal{C}_2} \cap {\mathcal{C}_3} \cap {\mathcal{C}_5},}$
$\displaystyle{C \in {\mathcal{C}_1} \cap {\mathcal{C}_2} \cap {\mathcal{C}_4} \cap {\mathcal{C}_5}.}$

Τότε $\displaystyle{A, B, C \in {\mathcal{C}_1} \cap {\mathcal{C}_2} ,}$ οπότε δύο από τα σημεία A, B, C

θα ταυτίζονται (αφού οι κύκλοι $\mathcal{C}_1$ και $\mathcal{C}_2$ έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία). Αν (π.χ.) A = B

, τότε $\displaystyle{A \in \bigcap\limits_{i = 1}^5 {{\mathcal{C}_i}} }$ και το συμπέρασμα έπεται.

Κύκλοι και κοινά σημεία

Κύκλοι και κοινά σημεία

Re: Κύκλοι και κοινά σημεία

Μέλη σε σύνδεση