Αριθμοί σε πίνακα

[Demetres]

Από το σύνολο κάποιος σβήνει αριθμούς. Μπορούμε να επιλέξουμε από αυτούς που παραμένουν οι οποίοι να έχουν άθροισμα ;

Να εξεταστούν οι περιπτώσεις
(α)
(β)

[JimNt.]

Από το σύνολο κάποιος σβήνει αριθμούς. Μπορούμε να επιλέξουμε από αυτούς που παραμένουν οι οποίοι να έχουν άθροισμα ;

Να εξεταστούν οι περιπτώσεις
(α)
(β)

Έστω το σύνολο , το οποίο περιέχει όλους τους μονοφήφιους θετικούς ακεραίους. Επιπλέον έστω της μορφής όλες οι εννιάδες με (με διαφορετικούς μεταξύ τους) .Υποθέτουμε τώρα πως και οι όροι των ζητούμενων εννιάδων ανήκουν στο .Όμως είναι , άτοπο (δηλαδή το άθροισμα των μικρότερων δηψήφιων (που ανήκουν στο συμπλήρωμα του )(διαφορετικών μεταξύ τους) αριθμών είναι μεγαλύτερο του ).Συνεπώς έπεται πως κάθε εννιάδα της μορφής , περιέχει τουλάχιστον στοιχείο από το σύνολο . Όμως το πλήθος των στοιχείων του είναι ίσο με . Επομένως, σε περίπτωση που κάποιος σβήσει και τους αριθμούς του , δεν θα υπάρχουν εννιάδες της ζητούμενης μορφής και με (με διαφορετικούς μεταξύ τους). Επομένως, η απάντηση είναι αρνητική.
Έχουμε τα ζεύγη θετικών ακεραίων της μορφής με : . Ονομάζω ένα απο τα παραπάνω ζεύγη αναλλοίωτο όταν ο μαθητής δεν σβήσει απο τον πίνακα κανένα όρο του και αλλοιομένο όταν σβήσει τουλάχιστον έναν όρο του. Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι με τα την επιλογή αριθμών απο τον πίνακα, θα υπάρχουν από τα παραπάνω ζεύγη αναλλοιώτα, το οποίο είναι προφανές, αφού ο μέγιστος δυνατός αριθμός αλλοιωμένων ζεύγων είναι (αν σβηστεί ένας όρος από το καθένα) και άρα θα μείνουν αναλλοίωτα ζεύγη. Τα , που έχουν και οι αριθμοί είναι σε αριθμό.Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική.

[Demetres]

Σωστά. Η απόδειξη στο (β) χρησιμοποιεί την αρχή του περιστερώνα.