Πλέγμα

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Πλέγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 31, 2017 5:37 pm

Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πλέγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 31, 2017 7:34 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Νομίζω πρέπει να αναφερθεί και η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα σημεία, γιατί εκτός από τα προφανή τρίγωνα υπάρχουν και άλλα που μπορούν να προκύψουν ανάλογα με το μήκος της απόστασης αυτής.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πλέγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 31, 2017 7:40 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Σε κάθε τετράγωνο 2 \times 2 σημείων έχουμε 4 ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν 49 τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 3 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 48 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 5 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 46 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 7 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 44 τέτοια ορθογώνια.

\vdots

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο 49 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 2 τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά 4 \cdot 49 + 2(2+4+6+ \ldots + 48) = 4 \cdot 49 + 2\cdot 24 \dfrac{2+48}{2}=1396

(Θεωρούμε ότι όλες οι αποστάσεις του πλέγματος είναι ίσες μεταξύ τους)


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Πλέγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 31, 2017 7:44 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Σε κάθε τετράγωνο 2 \times 2 σημείων έχουμε 4 ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν 49 τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 3 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 48 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 5 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 46 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 7 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 44 τέτοια ορθογώνια.

Κλπ

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο 49 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 2 τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά 4 \cdot 49 + 2(2+4+6+ \ldots + 48) = 4 \cdot 49 + 2\cdot 24 \dfrac{2+48}{2}=1396

(Θεωρούμε ότι όλες οι αποστάσεις του πλέγματος είναι ίσες μεταξύ τους)
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Νομίζω πρέπει να αναφερθεί και η απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα σημεία, γιατί εκτός από τα προφανή τρίγωνα υπάρχουν και άλλα που μπορούν να προκύψουν ανάλογα με το μήκος της απόστασης αυτής.

Ναι έχετε δίκιο.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πλέγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 31, 2017 9:22 pm

Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση =1. Τα τρίγωνα που βρήκε ο Διονύσης είναι αυτά που θα είναι ισοσκελή για κάθε τιμή της αμοιβαίας απόστασης. Ωστόσο με Π.Θ γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχει και άλλο πλήθος αμβλυγωνίων ισοσκελών που προστίθενται στο αρχικό σύνολο για συγκεκριμένες τιμές της απόστασης.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Τρί Ιαν 31, 2017 9:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Πλέγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 31, 2017 9:24 pm

JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση =1.
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πλέγμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 31, 2017 9:26 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση =1.
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.
Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Πλέγμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 31, 2017 9:28 pm

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση =1.
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.
Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.
Δεν διαφωνώ. Στην λυση της άσκησης υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις ειναι μοναδιαιες. Π.χ στην περίπτωση που απέχουν κατα 2 αλλάζει κατι; (Δεν το εχω δει)


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πλέγμα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 31, 2017 9:30 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Νομίζω ότι το όλο πρόβλημα δεν είναι σωστό. Πάρτε π.χ την απόσταση =1.
Τι εννοείς; Σωστό βγαίνει νομίζω.
Θα ήταν καλύτερο να τεθεί για συγκεκριμένη τιμή της απόστασης.
Δεν διαφωνώ. Στην λυση της άσκησης υποθέτουμε οτι οι αποστάσεις ειναι μοναδιαιες. Π.χ στην περίπτωση που απέχουν κατα 2 αλλάζει κατι; (Δεν το εχω δει)
Βασικά αν οι αποστάσεις είναι ίσες δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πλέγμα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 31, 2017 9:34 pm

Ναι σωστά συγνώμη... :oops: Εγώ την έλυσα με περιπτώσεις, που αφορούν τις δυνατές τοποθετήσεις της βάσης του ισοκελούς τριγώνου και έπρεπε να απορρίψω την περίπτωση που αυτή ως βάση αμβλυγωνίου ή οξυγωνίου τριγώνου βρίσκεται στο ενδιάμεσο των δύο πλευρών (με σημεία).


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πλέγμα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Φεβ 01, 2017 12:15 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Ας το γενικεύσουμε για ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από n \times 2 σημεία, όπου n άρτιος θετικός ακέραιος:

Σε κάθε τετράγωνο 2 \times 2 σημείων έχουμε 4 ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν n-1 τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 3 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-2 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 5 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-4 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 7 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-6 τέτοια ορθογώνια.

\vdots

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο (n-1) \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 2 τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά

4 \cdot (n-1) + 2(2+4+6+ \ldots + n-2) = 4 \cdot (n-1) + 2\cdot (\dfrac{n-4}{2}+1) \cdot \dfrac{2+n-2}{2}= \cdots = \dfrac{n^2+6n-8}{2} ισοσκελή τρίγωνα.

Υ.Γ. Αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω βήματα αρκούν, ή χρειάζεται και κάποιο άλλο είδος απόδειξης, π.χ. επαγωγή. :?:


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Πλέγμα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Φεβ 01, 2017 2:52 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από 50\times 2 σημεία. Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται ώστε να έχουν τις κορυφές τους στα σημεία του πλέγματος;
Ας το γενικεύσουμε για ορθογώνιο πλέγμα αποτελούμενο από n \times 2 σημεία, όπου n άρτιος θετικός ακέραιος:

Σε κάθε τετράγωνο 2 \times 2 σημείων έχουμε 4 ισοσκελή (ένα ορθογώνιο ισοσκελές για κάθε γωνία του τετραγώνου).
Στο πλέγμα υπάρχουν n-1 τέτοια τετράγωνα.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 3 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-2 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 5 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-4 τέτοια ορθογώνια.

Επιπλέον, σε κάθε ορθογώνιο 7 \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν n-6 τέτοια ορθογώνια.

\vdots

Τέλος, σε κάθε ορθογώνιο (n-1) \times 2 σημείων έχουμε 2 ισοσκελή (ένα για κάθε σημείο που αποτελεί μέσο της μεγάλης πλευράς)
Στο πλέγμα υπάρχουν 2 τέτοια ορθογώνια.

Άρα έχουμε συνολικά

4 \cdot (n-1) + 2(2+4+6+ \ldots + n-2) = 4 \cdot (n-1) + 2\cdot (\dfrac{n-4}{2}+1) \cdot \dfrac{2+n-2}{2}= \cdots = \dfrac{n^2+6n-8}{2} ισοσκελή τρίγωνα.

Υ.Γ. Αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω βήματα αρκούν, ή χρειάζεται και κάποιο άλλο είδος απόδειξης, π.χ. επαγωγή. :?:
Νομίζω πως ειναι σωστό επειδη εχω ξαναδεί παρόμοιο τροπο γενίκευσης (ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ 1 του κ. Ψυχα στις σημειώσεις διαγωνισμών της ΕΜΕ)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8211
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πλέγμα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 01, 2017 4:39 pm

Η τελική απάντηση είναι σωστή. Ας δούμε ένα πιο σύντομο τρόπο για την περίπτωση 2n \times 2:

Υπάρχουν δύο ειδών ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται:

(α) Ορθογώνια ισοσκελή με τις κάθετες να έχουν μήκος 1. Υπάρχουν ακριβώς 4(2n-1) τέτοια τρίγωνα. (2 τρόποι για να επιλέξουμε αν η βάση είναι πάνω ή κάτω, 2n-1 τρόποι για να επιλέξουμε το αριστερότερο σημείο της βάσης, 2 τρόποι για να επιλέξουμε αν η κάθετη είναι στο αριστερό ή στο δεξί σημείο της βάσης.)

(β) Μη ορθογώνια ισοσκελή. Οι δύο κορυφές της βάσης πρέπει να έχουν άρτια απόσταση αφού η τρίτη κορυφή ανήκει στην μεσοκάθετο. Αντιστρόφως για κάθε δύο σημεία με άρτια απόσταση υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο. Οπότε υπάρχουν ακριβώς 4\binom{n}{2} τέτοια τρίγωνα. (2 τρόποι για να επιλέξουμε αν η βάση είναι πάνω ή κάτω, δύο τρόποι για να επιλέξουμε αν οι κορυφές της βάσης είναι και οι δύο άρτιες ή και οι δύο περιττές και τέλος \binom{n}{2} τρόποι για να επιλέξουμε τις δύο κορυφές.)

Άρα συνολικά έχουμε

\displaystyle{ 4\binom{n}{2} + 4(2n-1) = 2n^2+6n-4}

τέτοια τρίγωνα. Για n=25 έχουμε 1396 τρίγωνα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης