Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 7:47 pm

Καλησπέρα, η πρώτη μου δημοσίευση παρακάτω.

Έστω P(x) πολυώνυμο με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες. Αν ισχύει deg(P(x))\geq 4. και επίσης μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων 3 βαθμού με 20 διαφορετικούς τρόπους: (α) Να βρείτε τον βαθμό του P(x). (β) Για ποιες άλλες τιμές του βαθμού του P(x) μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού ν με 20 διαφορετικούς τρόπους;

Φιλικά, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 8:28 pm

HerrGauss έγραψε:Καλησπέρα, η πρώτη μου δημοσίευση παρακάτω.
Έστω P(x) πολυώνυμο με πραγματικές διακεκριμένες ρίζες. Αν ισχύει deg(P(x))\geq 4. και επίσης μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως γινόμενο πολυωνύμων 3 βαθμού με 20 διαφορετικούς τρόπους: (α) Να βρείτε τον βαθμό του P(x). (β) Για ποιες άλλες τιμές του βαθμού του P(x) μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού ν με 20 διαφορετικούς τρόπους;

Φιλικά, Γιώργος.
Πρέπει να διευκρινιστεί νομίζω τι εννοείς με την φράση "20 διαφορετικούς τρόπους".


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Φεβ 03, 2017 8:31 pm

Καλώς ήρθες.

Νομίζω ότι πρέπει να προσδιοριστεί ότι το γινόμενο είναι διατεταγμένο, δηλαδή έχει σημασία η σειρά των παραγόντων.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 8:34 pm

Διευκρίνηση: στην συγκεκριμένη περίπτωση το 'διαφορετικούς τρόπους' ταυτίζεται με το 'διαφορετικά πολυώνυμα'. Π.χ PP(x) = (x-a)(x-b)(x-c) τότε ένας τρόπος θα ήταν P(x) = (x^2 -(a+b)x + ab)(x-c).

Επεξεργασία:
Και αυτό που είπε ο χρήστης dement.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 8:50 pm

a. Έστω n το πλήθος των 3βάθμιων παραγόντων. Τότε P(x)=(r_1-x)(s_1-x)(t_1-x)\cdot\cdot\cdot(r_n-x)(s_n-x)(t_n-x). Έχουμε 3n πρωτοβάθμιους παράγοντες και πρέπει \binom{3n}{3}\cdot\cdot\binom{3n-(3n-3)}{3}=20 \Leftrightarrow n=2. Συνεπώς, το αρχικό είναι 6ου βαθμού.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Παρ Φεβ 03, 2017 9:58 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:04 pm

Ή ισοδύναμα θα μπορούσε κανείς να θέσει n τον βαθμό του πολυωνύμου. Τότε θα έχει να διαλέξει από n παράγοντες 3 από αυτούς, δηλαδή \binom{n}{3} = 20 \Rightarrow n(n-1)(n-2) = 120 από την οποία εύκολα βγαίνει ότι n = 6


Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:16 pm

Νομίζω πως στο ερώτημα (β) έχεις κάνει ένα λάθος.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 9:23 pm

HerrGauss έγραψε:Νομίζω πως στο ερώτημα (β) έχεις κάνει ένα λάθος.
Η m=1 δεν ισχύει (αν αυτό εννοείς)


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:24 pm

Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 9:29 pm

HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20; Επιπλέον, για κ=1 έχουμε μόνο έναν τρόπο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:32 pm

JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 9:34 pm

HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:36 pm

JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19
Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 9:38 pm

HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19
Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.
Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο 20ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο 20 πολυωνύμων 19ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Φεβ 03, 2017 9:39 pm

Ως επιμελητής του φακέλου προτίθεμαι να μετακινήσω το θέμα σε άλλο φάκελο, γιατί δεν αντιλαμβάνομαι τι θέση έχει στο φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου.

Παρακαλώ ενημερώστε με (όποιος συμμετέχων στη συζήτηση γνωρίζει) σε ποιο φάκελο νομίζετε ότι ταιριάζει καλύτερα να το μετακινήσω.


Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:44 pm

JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19
Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.
Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο 20ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο 20 πολυωνύμων 19ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.
Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.


Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:48 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ως επιμελητής του φακέλου προτίθεμαι να μετακινήσω το θέμα σε άλλο φάκελο, γιατί δεν αντιλαμβάνομαι τι θέση έχει στο φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου.

Παρακαλώ ενημερώστε με (όποιος συμμετέχων στη συζήτηση γνωρίζει) σε ποιο φάκελο νομίζετε ότι ταιριάζει καλύτερα να το μετακινήσω.
Συγγνώμη για το λάθος μου, το θέμα το προόριζα για θέματα συνδυαστικής γ γυμνασίου.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 9:50 pm

HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19
Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.
Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο 20ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο 20 πολυωνύμων 19ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.
Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.
Μα στην άσκηση εν λες ότι θες πολυώνυμα-παράγοντες ίσου βαθμού;


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
HerrGauss
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2016 4:09 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από HerrGauss » Παρ Φεβ 03, 2017 9:56 pm

JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:
JimNt. έγραψε:
HerrGauss έγραψε:Εγώ χρησιμοποίησα το τρίγωνο Πασκάλ και βρήκα βαθμό n = 20 και κ = 1 ή κ = 19.
Επεξεργασία: όπου κ είναι ο βαθμός των πολυωνύμων των παραγόντων.
Πως γίνεται κ=19 αφού δεν ισχύει 19|20;
Αν ο βαθμός του P είναι 20 τότε μπορούμε να φτιάξουμε 20 πολυώνυμα βαθμού 1 και συνεπώς 20 πολυώνυμα βαθμού 19, διότι το να διαλέγεις 19 από τους 20 παράγοντες ισοδυναμεί με το να διαλέγεις ένα παράγοντα.
Τότε όμως n=20*19
Εξήγησε το μου σε παρακαλώ.
Εννοώ ότι αυτό που λες (τουλάχιστον αυτό που κατάλαβα από τα λεγόμενά σου) είναι ότι ένα πολυώνυμο 20ου βαθμού μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο 20 πολυωνύμων 19ου βαθμού, που είναι προφανώς άτοπο.
Σου ζητώ συγγνώμη αν δεν γίνομαι κατανοητός. Αλλά εννοούσα ότι αν το P είχε βαθμό 20 τότε θα έχει 20 παράγοντες στην παραγοντοποίησή του. Από αυτούς τους παράγοντες διαλέγουμε 1, τότε οι υπόλοιποι θα δημιουργούν ένα πολυώνυμο βαθμού 19. Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει 20 φορές οπότε 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 19 και 20 διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού 1.
Μα στην άσκηση εν λες ότι θες πολυώνυμα-παράγοντες ίσου βαθμού;
Έχω κάνει αρκετά λάθη στην διευκρίνηση. Συγγνώμη για την σύγχυση που σου προκάλεσα.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 562
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Συνδυαστική άσκηση με πολυώνυμα.

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 03, 2017 10:00 pm

Νομίζω λοιπόν ότι όλες οι λύσεις που πρωτάθηκαν είναι λάθος, αφού λες ότι παίρνεις και υπόψην την διάταξη των παραγόντων...


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης