Δύσκολη;

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Δύσκολη;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 21, 2017 7:35 pm

Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 16 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους μικρότερους ή ίσους από 100 υπάρχουν τέσσερις, έστω a,b,c,d έτσι ώστε a+b=c+d



Λέξεις Κλειδιά:
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Δύσκολη;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τρί Φεβ 21, 2017 8:34 pm

Έστω a_1<a_2<...<a_{16} οι αριθμοί μας.
Τότε ορίζουμε την ακολουθία b_1,b_2,...b_{15} με γενικό τύπο:
b_n=a_{n+1}-a_n. Παρατηρούμε ότι αν υπάρχουν 2 μη διαδοχικά b_n ,b_m που να είναι ίσα τότε το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Ακόμη παρατηρούμε πως θα πρέπει :
b_1+b_2+...+b_{15}<100 όμως 1+2+...+14=105>100 άρα θα υπάρχουν το πολύ 13 διαφορετικά b_n ή αλλιώς τουλάχιστον 3 ίδια.Άρα αναγκαστικά θα υπάρχουν 2 μη διαδοχικά και ίσα b_n


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Δύσκολη;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Φεβ 21, 2017 8:40 pm

Friedoon έγραψε:Έστω a_1<a_2<...<a_{16} οι αριθμοί μας.
Τότε ορίζουμε την ακολουθία b_1,b_2,...b_{15} με γενικό τύπο:
b_n=a_{n+1}-a_n. Παρατηρούμε ότι αν υπάρχουν 2 μη διαδοχικά b_n ,b_m που να είναι ίσα τότε το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Ακόμη παρατηρούμε πως θα πρέπει :
b_1+b_2+...+b_{15}<100 όμως 1+2+...+14=105>100 άρα θα υπάρχουν το πολύ 13 διαφορετικά b_n ή αλλιώς τουλάχιστον 3 ίδια.Άρα αναγκαστικά θα υπάρχουν 2 μη διαδοχικά και ίσα b_n
Η λύση έχει κενά:

Γιατί τουλάχιστον 3 ίδια;

Γιατί να μην είναι b_1=b_2, b_3=b_4, ..., b_{13}=b_{14};

Φιλικά,

Αχιλλέας


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δύσκολη;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Φεβ 25, 2017 11:20 am

Επαναφορά!


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Δύσκολη;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Φεβ 25, 2017 8:13 pm

Έστω \displaystyle{{a_1} < {a_2} <  \cdots  < {a_{16}}} οι δοσμένοι αριθμοί.

Υπάρχουν \displaystyle \binom{16}{2} =120 θετικές διαφορές \displaystyle{{a_i} - {a_j},} με \displaystyle{1 \le j < i \le 16.}

Παρατηρούμε ότι αν \displaystyle{\left( {{a_{{i_1}}},{a_{{i_2}}}} \right)} και \displaystyle{\left( {{a_{{i_3}}},{a_{{i_4}}}} \right)} (με \displaystyle{{i_1} > {i_2}} και \displaystyle{{i_3} > {i_4}}) είναι δύο διαφορετικά ζεύγη τέτοια, ώστε \displaystyle{{a_{{i_1}}} - {a_{{i_2}}} = {a_{{i_3}}} - {a_{{i_4}}},} τότε \displaystyle{{a_{{i_1}}} + {a_{{i_4}}} = {a_{{i_2}}} + {a_{{i_3}}}} και έχουμε τη ζητούμενη τετράδα αριθμών \displaystyle{\left( {a,b,c,d} \right) = \left( {{a_{{i_1}}},{a_{{i_4}}},{a_{{i_2}}},{a_{{i_3}}}} \right),} εκτός αν ισχύει \displaystyle{{{a_{{i_2}}} = {a_{{i_3}}}}.}

Στην τελευταία (μη επιθυμητή) περίπτωση, έχουμε ότι οι αριθμοί \displaystyle{{a_{{i_1}}},{a_{{i_2}}},{a_{{i_4}}}} είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Παρατηρούμε ότι αν οι αριθμοί \displaystyle{\left( {a,x,b} \right)} και \displaystyle{\left( {c,x,d} \right)} είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει
\displaystyle{a + b = 2x = c + d.} Επομένως, αν κάποιος από τους αριθμούς \displaystyle{{a_i}} είναι μεσαίος όρος σε δύο διαφορετικές αριθμητικές προόδους με 3 όρους από τους δοσμένους αριθμούς, τότε το ζητούμενο ισχύει.

Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι κάθε αριθμός \displaystyle{{a_i}} είναι μεσαίος όρος σε το πολύ μία αριθμητική πρόοδο με 3 όρους από τους δοσμένους αριθμούς. Τότε, έχουμε δύο ζεύγη αριθμών \displaystyle{\left( {{a_k},{a_i}} \right)} και \displaystyle{\left( {{a_i},{a_j}} \right)} τέτοια, ώστε

\displaystyle{{a_k} - {a_i} = {a_i} - {a_j}.}

Εξαιρούμε το ένα από τα δύο ζεύγη αριθμών σε κάθε τέτοια περίπτωση, οπότε απομένουν τουλάχιστον 120-16=104 ζεύγη, με την ιδιότητα να μην υπάρχουν ανάμεσά τους ζεύγη της μορφής \displaystyle{\left( {{a_k},{a_i}} \right)} και \displaystyle{\left( {{a_i},{a_j}} \right)}. Στα εναπομείναντα ζεύγη, οι διαφορές παίρνουν τις τιμές \displaystyle{1,2, \ldots ,99.} Από την Αρχή της Περιστεροφωλιάς, δύο τουλάχιστον ζεύγη θα δίνουν την ίδια διαφορά. Αν, λοιπόν, είναι

\displaystyle{{a_{{i_1}}} - {a_{{i_2}}} = {a_{{i_3}}} - {a_{{i_4}}},}

τότε παίρνουμε

\displaystyle{\left( {a,b,c,d} \right) = \left( {{a_{{i_1}}},{a_{{i_4}}},{a_{{i_2}}},{a_{{i_3}}}} \right),}

και το ζητούμενο έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Δύσκολη;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 8:29 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 16 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους μικρότερους ή ίσους από 100 υπάρχουν τέσσερις, έστω a,b,c,d έτσι ώστε a+b=c+d
Δείτε επίσης τη λύση της άσκησης 5 στη σελ. 24 του πολύ χρήσιμου αρχείου στην Αρχή της Περιστεροφωλιάς από το AwesomeMath Program που είναι ελεύθερα διαθέσιμο εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δύσκολη;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Φεβ 25, 2017 8:39 pm

achilleas έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 16 διαφορετικούς θετικούς ακέραιους μικρότερους ή ίσους από 100 υπάρχουν τέσσερις, έστω a,b,c,d έτσι ώστε a+b=c+d
Δείτε επίσης τη λύση της άσκησης 5 στη σελ. 24 του πολύ χρήσιμου αρχείου στην Αρχή της Περιστεροφωλιάς από το AwesomeMath Program που είναι ελεύθερα διαθέσιμο εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Σας ευχαριστώ για την λυση και την παραπομπή.

Κύριε Αχιλλέα υπαρχουν και αλλα τέτοια φυλλάδια για αλλα topics;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Δύσκολη;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 8:55 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Κύριε Αχιλλέα υπαρχουν και αλλα τέτοια φυλλάδια για αλλα topics;
Από το Awesome math όχι, αλλά μπορεί κανείς να βρεί πολλά φυλλάδια σε topics προετοιμασίας για διαγωνισμούς-ολυμπιάδες στις σελίδες

του Po-Shen Loh (τώρα αρχηγού της USA IMO team),
του Yufei Zhao,
του Alexander Remorov,
του Canada IMO Training,
του Evan Chen,
του IMOmath (τα αρχεία του IMO Math ήταν διαθέσιμα σε pdf στο παρελθόν)
και άλλων.

Φιλικά,

Αχιλλέας


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δύσκολη;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Φεβ 25, 2017 9:07 pm

achilleas έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Κύριε Αχιλλέα υπαρχουν και αλλα τέτοια φυλλάδια για αλλα topics;
Από το Awesome math όχι, αλλά μπορεί κανείς να βρεί πολλά φυλλάδια σε topics προετοιμασίας για διαγωνισμούς-ολυμπιάδες στις σελίδες

του Po-Shen Loh (τώρα αρχηγού της USA IMO team),
του Yufei Zhao,
του Alexander Remorov,
του Canada IMO Training,
του Evan Chen,
του IMOmath (τα αρχεία του IMO Math ήταν διαθέσιμα σε pdf στο παρελθόν)
και άλλων.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Σας ευχαριστώ πολυ !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης