Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 21, 2017 8:04 pm

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο αριθμό που μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα 9,10, \kappa \alpha \iota11 διαδοχικών θετικών ακεραίων αριθμών.



Λέξεις Κλειδιά:
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τρί Φεβ 21, 2017 8:26 pm

Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 21, 2017 8:33 pm

Datis-Kalali έγραψε:Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
Πολυ ωραια!

Ας προσπαθήσουμε το ιδιο για 10,11,12 διαδοχικούς ακεραίους.

Μόνος μου το σκέφτηκα οποτε ειδοποίηστε αν πρόκειται για ... Πατάτα


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Φεβ 21, 2017 8:38 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
Πολυ ωραια!

Ας προσπαθήσουμε το ιδιο για 10,11,12 διαδοχικούς ακεραίους.

Μόνος μου το σκέφτηκα οποτε ειδοποίηστε αν πρόκειται για ... Πατάτα
Βασικά δεν υπάρχει κάποιος με αυτήν την ιδιότητα. Αφού 10l-5, περιττός, θα πρέπει και 12f-6 περιττός, άτοπο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 21, 2017 8:54 pm

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
Πολυ ωραια!

Ας προσπαθήσουμε το ιδιο για 10,11,12 διαδοχικούς ακεραίους.

Μόνος μου το σκέφτηκα οποτε ειδοποίηστε αν πρόκειται για ... Πατάτα
Βασικά δεν υπάρχει κάποιος με αυτήν την ιδιότητα. Αφού 10l-5, περιττός, θα πρέπει και 12f-6 περιττός, άτοπο.
Μάλλον χανω κατι προφανές. :wallbash: Μπορείς να το εξηγήσεις λίγο περισσότερο;


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Φεβ 21, 2017 9:01 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
Πολυ ωραια!

Ας προσπαθήσουμε το ιδιο για 10,11,12 διαδοχικούς ακεραίους.

Μόνος μου το σκέφτηκα οποτε ειδοποίηστε αν πρόκειται για ... Πατάτα
Βασικά δεν υπάρχει κάποιος με αυτήν την ιδιότητα. Αφού 10l-5, περιττός, θα πρέπει και 12f-6 περιττός, άτοπο.
Μάλλον χανω κατι προφανές. :wallbash: Μπορείς να το εξηγήσεις λίγο περισσότερο;
Ναι. Λοιπόν, το άθροισμα των 10 διαδοχικών θα είναι περιττός. Αφού a+1+a+2+...a+10=55+10a. Συνεπώς, όταν προστεθούν 2 ακόμη (ένας περιττός και ένας άρτιος) το άθροισμα θα γίνει άρτιο.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Φεβ 21, 2017 9:04 pm

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
Πολυ ωραια!

Ας προσπαθήσουμε το ιδιο για 10,11,12 διαδοχικούς ακεραίους.

Μόνος μου το σκέφτηκα οποτε ειδοποίηστε αν πρόκειται για ... Πατάτα
Βασικά δεν υπάρχει κάποιος με αυτήν την ιδιότητα. Αφού 10l-5, περιττός, θα πρέπει και 12f-6 περιττός, άτοπο.
Μάλλον χανω κατι προφανές. :wallbash: Μπορείς να το εξηγήσεις λίγο περισσότερο;
Ναι. Λοιπόν, το άθροισμα των 10 διαδοχικών θα είναι περιττός. Αφού a+1+a+2+...a+10=55+10a. Συνεπώς, όταν προστεθούν 2 ακόμη (ένας περιττός και ένας άρτιος) το άθροισμα θα γίνει άρτιο.
:coolspeak: :oops:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης