Μια Συνδυαστική

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Μια Συνδυαστική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Μαρ 11, 2017 4:50 pm

Έστω ενα ευθύγραμμο τμήμα AB ώστε να ειναι A(0,0) και B(m,n). Να βρείτε το πληθος των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται πανω στο ευθύγραμμο τμήμα.

Για Μαθητές έως και αύριο βράδυ .



Λέξεις Κλειδιά:
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Μια Συνδυαστική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:43 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω ενα ευθύγραμμο τμήμα AB ώστε να ειναι A(0,0) και B(m,n). Να βρείτε το πληθος των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται πανω στο ευθύγραμμο τμήμα.

Για Μαθητές έως και αύριο βράδυ .
Οι m και n είναι πραγματικοί ή ακέραιοι;


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 563
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μια Συνδυαστική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:48 pm

Αν είναι πραγματικοί έχουμε άπειρα σημεία, τα οποία δεν προσδιορίζεται ότι πρέπει να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μια Συνδυαστική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:52 pm

Παράλειψη μου ειναι και οι δυο ακέραιοι.

Και τα σημεια του πλέγματος εχουν ακέραιες συντεταγμένες.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μια Συνδυαστική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Μαρ 11, 2017 6:01 pm

Νομίζω πως η άσκηση ανήκει καλύτερα στον φάκελο Θεωρίας Αριθμών...
Αν m=n=0, τότε έχουμε προφανώς 1 σημείο.

Αν m=0 ή n=0 έχουμε n+1 ή m+1 αντίστοιχα.

Έστω τώρα m, n\ne 0

Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A και B έχει εξίσωση:

y=\dfrac{n}{m}\cdot x\Leftrightarrow my=nx

Μας ενδιαφέρει πόσες θετικές ακέραιες λύσεις έχει αυτή η εξίσωση με την προϋπόθεση όμως 0\leq y\leq n και 0\leq x\leq m (ακόμα και αν τα m,n είναι αρνητικά, περιστρέφουμε το ευθύγραμμο τμήμα, έτσι ώστε το B να είναι στο 1 τεταρτημόριο).

Έστω (m,n)=d. Τότε m=dk και n=dl, όπου (k, l)=1. Η εξίσωση γίνεται:

my=nx\Leftrightarrow dky=dly\Leftrightarrow ky=lx, με συνθήκη 0\leq y\leq dl και 0\leq x\leq dk.

Επειδή (k, l)=1 έχουμε πως k|x, άρα x=k\cdot t, με 0 \leq t \leq d.

Άρα η εξίσωση έχει d+1 θετικές ακέραιες λύσεις, δηλαδή (m,n)+1 λύσεις.

edit: Προστέθηκαν κάποιες τετριμμένες περιπτώσεις στην αρχή και διορθώθηκε ένα τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Απρ 22, 2017 11:12 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μια Συνδυαστική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Μαρ 11, 2017 6:05 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Νομίζω πως η άσκηση ανήκει καλύτερα στον φάκελο Θεωρίας Αριθμών...

Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A και B έχει εξίσωση:

y=\dfrac{n}{m}\cdot x\Leftrightarrow my=nx

Μας ενδιαφέρει πόσες θετικές ακέραιες λύσεις έχει αυτή η εξίσωση με την προϋπόθεση όμως 0\leq y\leq n και 0\leq x\leq m (ακόμα και αν τα m,n είναι αρνητικά, μεταφέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα στο 1 τεταρτημόριο έτσι ώστε να έχει την ίδια κλήση).

Έστω (m,n)=d. Τότε m=dk και n=dl, όπου (k, l)=1. Η εξίσωση γίνεται:

my=nx\Leftrightarrow dky=dly\Leftrightarrow ky=lx, με συνθήκη 0\geq y\geq dl και 0\geq x\geq dk.

Επειδή (k, l)=1 έχουμε πως k|x, άρα x=k\cdot t, με 0 \leq t \leq d.

Άρα η εξίσωση έχει d+1 θετικές ακέραιες λύσεις, δηλαδή (m,n)+1 λύσεις.
Διονύση :coolspeak: .

Η πηγή μου έχει μια λύση που ειναι κοντά στην Συνδυαστικη Γεωμετρία αν και εγώ το έλυσα με την εξισωση της ευθείας.

Θα την βάλω οταν εχω χρονο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης