Χωρισμός σε τρίγωνο

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Χωρισμός σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Μαρ 14, 2017 3:21 pm

Παίρνουμε σημεία που χωρίζουν τις πλευρές του τριγώνου ABC p σε ίσα μέρη, p πρώτος. Ενώνουμε τα σημεια στις πλευρες AB,BC,CA με τις κορυφές C,A,B. Να βρεθεί το μέγιστο πληθος των περιοχών που δημιουργούνται.

Ας το αφήσουμε 1 μέρα για μαθητές.


Edit: Ο Διονυσης και ο JimNt. μου επισήμαναν το λαθος που τωρα ειδα. Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Παρ Μαρ 17, 2017 3:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χωρισμός σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Μαρ 15, 2017 2:18 pm

Επαναφορά για όλους !


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χωρισμός σε τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Μαρ 17, 2017 11:36 am

Επαναφορά !


Αν δεν απαντηθεί σημερα θα δώσω hint.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Χωρισμός σε τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μαρ 17, 2017 4:14 pm

Όταν p=2, έχουμε 6 περιοχές (έχουμε τις διαμέσους του τριγώνου).

Έστω p>2.

Θα αποδείξουμε πως δεν υπάρχουν 3 ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν μέσα στο τρίγωνο.

Έστω πως υπάρχουν σημεία D, E, F στις πλευρές AB, BC, CA αντίστοιχα, έτσι ώστε το AD να περιέχει x μοναδιαία τμήματα, το BE να περιέχει y μοναδιαία τμήματα και το CF να περιέχει z μοναδιαία τμήματα και τα ευθύγραμμα τμήματα AE, CD και BF να συντρεχουν.

Από το θεώρημα Ceva πρέπει να ισχύει ότι:

\dfrac{AD}{DB}\cdot \dfrac{BE}{EC}\cdot \dfrac{CF}{FA}=1 ή ισοδύναμα \dfrac{x}{p-x}\cdot \dfrac{y}{p-y}\cdot \dfrac{z}{p-z}=1\Leftrightarrow xyz=(p-x)(p-y)(p-z)\Leftrightarrow 2xyz=p^3+p(xy+yz+zx)-p^2(x+y+z)\Rightarrow p|2xyz\Rightarrow p|xyz, άρα p|x ή p|y ή p|z. Όμως 0<x, y, z<p, άρα έχουμε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν 3 ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν.

Για να βρούμε τον αριθμό των περιοχών ας ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:

Ξεκινάμε φέρνοντας μόνο τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή A. Αυτά χωρίζουν το τρίγωνο σε p περιοχές.

Στη συνέχεια φέρνουμε τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή B. Καθένα από αυτά χωρίζει καθεμιά από τις προηγούμενες περιοχές σε p περιοχές. Άρα έχουμε p^2 περιοχές.

Τέλος φέρνουμε τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή C. Καθένα από αυτά τέμνεται από όλα τα προηγούμενα 2p-2 τμήματα σύμφωνα με τα παραπάνω σε 2p-2 σημεία, χωρίζεται λοιπόν σε 2p-1 ευθύγραμμα τμήματα. Κάθε τέτοιο τμήμα δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή, δημιουργώντας δηλαδή (p-1)(2p-1) επιπλέον περιοχές.

Συνολικά, έχουμε p^2+(p-1)(2p-1)=3p^2-3p+1 περιοχές.


Houston, we have a problem!
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Χωρισμός σε τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Μαρ 17, 2017 5:54 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Όταν p=2, έχουμε 6 περιοχές (έχουμε τις διαμέσους του τριγώνου).

Έστω p>2.

Θα αποδείξουμε πως δεν υπάρχουν 3 ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν μέσα στο τρίγωνο.

Έστω πως υπάρχουν σημεία D, E, F στις πλευρές AB, BC, CA αντίστοιχα, έτσι ώστε το AD να περιέχει x μοναδιαία τμήματα, το BE να περιέχει y μοναδιαία τμήματα και το CF να περιέχει z μοναδιαία τμήματα και τα ευθύγραμμα τμήματα AE, CD και BF να συντρεχουν.

Από το θεώρημα Ceva πρέπει να ισχύει ότι:

\dfrac{AD}{DB}\cdot \dfrac{BE}{EC}\cdot \dfrac{CF}{FA}=1 ή ισοδύναμα \dfrac{x}{p-x}\cdot \dfrac{y}{p-y}\cdot \dfrac{z}{p-z}=1\Leftrightarrow xyz=(p-x)(p-y)(p-z)\Leftrightarrow 2xyz=p^3+p(xy+yz+zx)-p^2(x+y+z)\Rightarrow p|2xyz\Rightarrow p|xyz, άρα p|x ή p|y ή p|z. Όμως 0<x, y, z<p, άρα έχουμε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχουν 3 ευθύγραμμα τμήματα που να συντρέχουν.

Για να βρούμε τον αριθμό των περιοχών ας ακολουθήσουμε την παρακάτω διαδικασία:

Ξεκινάμε φέρνοντας μόνο τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή A. Αυτά χωρίζουν το τρίγωνο σε p περιοχές.

Στη συνέχεια φέρνουμε τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή B. Καθένα από αυτά χωρίζει καθεμιά από τις προηγούμενες περιοχές σε p περιοχές. Άρα έχουμε p^2 περιοχές.

Τέλος φέρνουμε τα p-1 ευθύγραμμα τμήματα από την κορυφή C. Καθένα από αυτά τέμνεται από όλα τα προηγούμενα 2p-2 τμήματα σύμφωνα με τα παραπάνω σε 2p-2 σημεία, χωρίζεται λοιπόν σε 2p-1 ευθύγραμμα τμήματα. Κάθε τέτοιο τμήμα δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή, δημιουργώντας δηλαδή (p-1)(2p-1) επιπλέον περιοχές.

Συνολικά, έχουμε p^2+(p-1)(2p-1)=3p^2-3p+1 περιοχές.

Ωραίος ! :first:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης