Η «Τεθλασμένη»

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Η «Τεθλασμένη»

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Μαρ 25, 2017 7:48 pm

Ο Βαγγέλης παίρνει ένα μολύβι και μια κόλλα χαρτί και χωρίς να αφήσει το μολύβι τραβάει μια «τεθλασμένη» γραμμή. Αν στην τελική «τεθλασμένη» έχει αλλάξει την πορεία της γραμμής n φορές τότε να βρείτε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής της «τεθλασμένης» με τα διάφορα κομμάτια της.



Στιγμιότυπο 2017-03-25, 7.46.36 μ.μ..png
Στιγμιότυπο 2017-03-25, 7.46.36 μ.μ..png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές


ΠΡΟΣΟΧΗ: Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής οπότε μπορεί να είναι μεγάλη πατάτα!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1457
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Η «Τεθλασμένη»

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:15 pm

Γεια σου Χάρη!

Αν έχουμε 1 ''αλλαγή κατεύθυνσης'', έχουμε 2 γραμμές.

Αν έχουμε 2 ''αλλαγές κατεύθυνσης'', έχουμε 3 γραμμές.

Άρα, γενικά, για n αλλαγές ''κατεύθυνσης'', έχουμε n+1 γραμμές.

Αφού θέλουμε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν 3 γραμμές που να συντρέχουν και ότι ανά δύο οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι έχουμε το πολύ \dfrac{n(n-1)}{2} (για n+1 ευθείες) (1).

Έστω ότι ισχύει η (1).

Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι ισχύει το εξής: Αν έχουμε n+2 ευθείες, έχουμε το πολύ \dfrac{n(n+1)}{2} σημεία τομής.

Η n+2 -στη ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες n+1 σε n+1 σημεία.

Όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε το 1 από αυτά, το σημείο όπου έγινε η τελευταία αλλαγή κατεύθυνσης.

Άρα, έχουμε n σημεία τομής, συνολικά \dfrac{n(n-1)}{2}+n=\dfrac{n(n+1)}{2} ο.ε.δ.

Άρα, έχουμε το πολύ \boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}} σημεία τομής.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Η «Τεθλασμένη»

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:29 pm

Γειά σου Ορέστη και Χρόνια Πολλά!

Η λύση σου είναι άψογη!


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 794
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Η «Τεθλασμένη»

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:37 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σου Χάρη!

Αν έχουμε 1 ''αλλαγή κατεύθυνσης'', έχουμε 2 γραμμές.

Αν έχουμε 2 ''αλλαγές κατεύθυνσης'', έχουμε 3 γραμμές.

Άρα, γενικά, για n αλλαγές ''κατεύθυνσης'', έχουμε n+1 γραμμές.

Αφού θέλουμε το μέγιστο πλήθος σημείων τομής, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν 3 γραμμές που να συντρέχουν και ότι ανά δύο οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι έχουμε το πολύ \dfrac{n(n-1)}{2} (για n+1 ευθείες) (1).

Έστω ότι ισχύει η (1).

Θα αποδείξουμε λοιπόν ότι ισχύει το εξής: Αν έχουμε n+2 ευθείες, έχουμε το πολύ \dfrac{n(n+1)}{2} σημεία τομής.

Η n+2 -στη ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες n+1 σε n+1 σημεία.

Όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε το 1 από αυτά, το σημείο όπου έγινε η τελευταία αλλαγή κατεύθυνσης.

Άρα, έχουμε n σημεία τομής, συνολικά \dfrac{n(n-1)}{2}+n=\dfrac{n(n+1)}{2} ο.ε.δ.

Άρα, έχουμε το πολύ \boxed{\dfrac{n(n-1)}{2}} σημεία τομής.
Λίγο διαφορετικά:

Μπορούμε να πούμε ότι όλα τα n+1 ευθύγραμμα τμήματα τέμνονται μεταξύ τους, άρα έχουμε \binom{n+1}{2} διαφορετικά ζευγάρια που δίνουν το πολύ 1 σημείο τομής. Επομένως έχουμε το πολύ \binom{n+1}{2}-n=\dfrac{n(n-1)}{2} σημεία τομής (αφαιρούμε τα σημεία όπου απλώς άλλαξε η πορεία και δεν το θεωρούμε σημείο τομής).


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης