Θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε ένα παράδειγμα έτσι ώστε να μην ισχύει το ζητούμενο. Θα προσπαθούμε δηλαδή να βάφουμε τα σημεία με τα χρώματα μπλε ή κόκκινο έτσι ώστε να μην υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με κορυφές τρία σημεία ιδίου χρώματος, όμως θα οδηγούμαστε σε άτοπο:
Φτιάχνουμε τα ακόλουθα ισόπλευρα τρίγωνα ( βλέπε σχήμα).
Στο τρίγωνο
χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως θα τα
και
θα έχουν το ίδιο χρώμα, άρα τα βάφουμε με κόκκινο. Επομένως θα χρωματίζουμε το
μπλε και αναγκαστικά και το
μπλε. Τα
και
δεν γίνεται να είναι ταυτόχρονα μπλε, λόγω του
. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Τα
και
είναι και τα δύο κόκκινα. Αναγκαστικά λοιπόν το
θα είναι μπλε. Όμως στα ισόπλευρα
και
πρέπει τα
και
αντίστοιχα να είναι μπλε. Τότε όμως θα έχουμε το
που θα έχει όλα τα σημεία του μπλε.
2) Χωρίς βλάβη της γενικότητας το
είναι μπλε και το
είναι κόκκινο. To
είναι λόγω του
κόκκινο. Για παρόμοιο λόγο το
είναι μπλε, ενώ το
είναι κόκκινο. Λόγω των ισόπλευρων
και
, τα σημεία
και
αντίστοιχα είναι μπλε. Λόγω του ισοπλεύρου
το
είναι κόκκινο. Λόγω του
το
είναι μπλε. Τότε όμως θα έχουμε το
που θα έχει όλα τα σημεία του μπλε.
Άρα ακόμη και στην χείριστη περίπτωση χρωματισμού, θα υπάρχει ένα ισόπλευρο που θα έχει όλα τα σημεία του το ίδιο χρώμα.