Σε ένα Τετράγωνο

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 509
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Σε ένα Τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Μαρ 31, 2017 2:46 pm

Τοποθετούμε σε ενα 11\times 11 τετραγωνο 3 μοναδιαία τετράγωνα και 4 μοναδιαιους δίσκους.

Μπορούμε ΠΑΝΤΑ να τοποθετούμε έναν μοναδιαίο δίσκο χωρίς να επικαλυπτει τα αλλα σχήματα;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7961
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 31, 2017 8:23 pm

Ναι! Ως υπόδειξη, κοιτάξτε που απαγορεύεται να τοποθετηθεί το κέντρο αυτού του δίσκου.


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 509
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Απρ 03, 2017 11:32 pm

Επαναφέρω !

Προσέξτε τι λέει ο κύριος Δημήτρης !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 04, 2017 12:17 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Τοποθετούμε σε ενα 11\times 11 τετραγωνο 3 μοναδιαία τετράγωνα και 4 μοναδιαιους δίσκους.

Μπορούμε ΠΑΝΤΑ να τοποθετούμε έναν μοναδιαίο δίσκο χωρίς να επικαλυπτει τα αλλα σχήματα;
Μετά από λίγες μέρες απουσίας εκτός έδρας, επιστρέφω.

Αρχικά εργαζόμαστε στο εσωτερικό 9\times 9 τεράγωνο. (Έκανα μία διόρθωση εδώ στην αρχική μου απάντηση)

Μεγαλώνουμε κάθε ένα από τους 4 δοθέντες μοναδιαίους κύκλους προσθέτωντας 1 στην ακτίνα του αλλά κρατώντας το ίδιο κέντρο. Επίσης μεγαλώνουμε ΅καθένα από τα 3 τετράγωνα προθέτωντας όλα τα σημεία που απέχουν 1 από την περίμετρό τους (γίνεται σχήμα που απότελείται από 5 μοναδιαία τετράγωνα σαν σταυρός συν τέσσερα τεταρτοκύκλια στις γωνίες). Το συνολικό εμβαδόν των 7 σχημάτων είναι 4 \times (\pi \cdot 2^2) + 3 \times ( 5+ \pi \cdot 1^2) = 19\pi + 15 < 75 < 9\times 9.

Άρα τα σχήματά μας αφήνουν ακάλυπτο χώρο. Μέ κέντρο οποιοδήποτε ακάλυπτο σημείο, ο κύκλος με κέντρο το εν λόγω σημείο και ακτίνας 1 δεν τέμνει κανένα από τα αρχικά σχήματα (διότι το κέντρο του απέχει τουλάχιστον 1 από την περίμετρο των αρχικών σχημάτων).

Επίσης (προσθέτω στην αρχική μου απάντηση) ότι ο ίδιος κύκλος βρίσκεται μέσα στο αρχικό 11\times 11 (απλό). ό.έ.δ.

Edit: Έκανα τις προσθήκες που σημείωσα με κόκκινο. Στην αρχική μου λύση είχα ξεχάσει ότι ο κύκλος πρέπει να είναι εξ ολοκλήρου εντός του αρχικού τετραγώνου. Εκείνος είχε μόνο το κέντρου του εντός. Τώρα όλα είναι καλά.

Ευχαριστώ τους δύο Δημήτρηδες που επεσήμαναν το σφάλμα μου (βλέπε παρακάτω ή σε Π.Μ.)
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Απρ 04, 2017 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 04, 2017 12:38 pm

Μιχάλη, έχω την εντύπωση ότι το υποθετικό τετράγωνο 9 \times 9 είναι απαραίτητο ώστε ο πέμπτος κύκλος να μη "χτυπάει τοίχο".


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10678
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 04, 2017 1:06 pm

dement έγραψε:Μιχάλη, έχω την εντύπωση ότι το υποθετικό τετράγωνο 9 \times 9 είναι απαραίτητο ώστε ο πέμπτος κύκλος να μη "χτυπάει τοίχο".
Δημήτρη, έχεις δίκιο.

Το ίδιο μου επεσήμανε σε Π.Μ. και ο έτερος Δημήτρης.

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΔΥΟ.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 04, 2017 1:27 pm

Πάντως είναι γεγονός ότι μπορούμε και καλύτερα. Αποδείξτε ότι μπορούμε πάντα να βάλουμε και δεύτερο μοναδιαίο δίσκο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7961
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 04, 2017 1:59 pm

dement έγραψε:Πάντως είναι γεγονός ότι μπορούμε και καλύτερα. Αποδείξτε ότι μπορούμε πάντα να βάλουμε και δεύτερο μοναδιαίο δίσκο.
Ωραίο!

Μας μένει εμβαδόν 66-19\pi \in (6,7) όπου πρέπει να τοποθετήσουμε δύο σημεία τα οποία να έχουν απόσταση τουλάχιστον 2.

Αν τοποθετήσουμε το πρώτο σημείο αυθαίρετα, πρέπει να αφαιρέσουμε από το πιο πάνω το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ακτίνας 2 αφού το δεύτερο σημείο απαγορεύεται να πέσει μέσα σε αυτό. Το εμβαδόν όμως είναι 4 \pi > 66-19\pi. Οπότε πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί.

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του 4 έχει δύο σημεία απόστασης τουλάχιστον 2. Αυτό έπεται από το θεώρημα Blichfeldt. Το θεώρημα λέει ότι κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του 1 περιέχει δύο σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Αλλάζοντας κλίμακα, κάθε σχήμα εμβαδού μεγαλύτερου του 4 έχει δύο σημεία με συντεταγμένες ακέραια πολλαπλάσια του 2. Αυτά τα δύο σημεία έχουν απόσταση τουλάχιστον 2.

Θα δώσω και μια διαφορετική απόδειξη αργότερα.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 04, 2017 2:19 pm

Για να το τραβήξουμε στα άκρα:

Αποδείξτε ότι σε τετράγωνο 10 \times 10 που περιέχει 8 μοναδιαίους μη επικαλυπτόμενους κυκλικούς δίσκους μπορεί πάντα να εισαχθεί ένατος μοναδιαίος κυκλικός δίσκος μη επικαλυπτόμενος με τους άλλους.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 04, 2017 4:19 pm

dement έγραψε:Για να το τραβήξουμε στα άκρα:

Αποδείξτε ότι σε τετράγωνο 10 \times 10 που περιέχει 8 μοναδιαίους μη επικαλυπτόμενους κυκλικούς δίσκους μπορεί πάντα να εισαχθεί ένατος μοναδιαίος κυκλικός δίσκος μη επικαλυπτόμενος με τους άλλους.
Χωρίζουμε το τετράγωνο σε 2x2 τετράγωνα.Στα τετράγωνα 4x4 που βρίσκονται στις κορυφές θα υπάρχει κύκλος που θα τέμνει όλα τα 2x2 τετράγωνα από τα οποία αποτελείται και δεν θα βγαίνει έξω από αυτό.
Μεταξύ δύο τετραγώνων 4x4
βρίσκεται ορθογώνιο 2x4.Αν σε ένα από αυτά δεν βρίσκεται κύκλος τότε τελειώσαμε.Αν σε όλα βρίσκετε κύκλος τότε το μεσαίο 2x2 είναι κενό και βάζουμε σε αυτό τον νέο κύκλο.
κύκλος =κυκλικός δίσκος.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σε ένα Τετράγωνο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 04, 2017 4:34 pm

:clap:


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης