Χρωματισμός ακεραίων

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Χρωματισμός ακεραίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 18, 2017 12:05 am

Κάθε ακέραιος χρωματίζεται άσπρος ή μαύρος με τέτοιο τρόπο ώστε αν ο m είναι άσπρος τότε ο m + 20 είναι επίσης άσπρος και αν ο k είναι μαύρος τότε και ο k + 35 είναι επίσης μαύρος. Πόσοι από τους αριθμούς 1, 2, . . . , 50 είναι δυνατόν να είναι άσπροι;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Χρωματισμός ακεραίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιουν 18, 2017 9:46 pm

Αν ο m είναι άσπρος, τότε και ο m+20 είναι άσπρος και άρα και ο m+40 είναι άσπρος. Οπότε και ο m+5 είναι άσπρος αφού αν ήταν μαύρος, θα ήταν και ο m+40 μαύρος.

Επίσης αν ο m είναι άσπρος, βρίσκουμε διαδοχικά ότι οι m+20,m+25,m+30,m-5 είναι επίσης άσπροι.

Άρα δύο αριθμοί ισότιμοι modulo 5 πρέπει να έχουν και το ίδιο χρώμα. Επίσης μπορούμε να χρωματίσουμε αυθαίρετα τις κλάσεις modulo 5 με όποιο χρώμα θέλουμε διατηρώντας τις δεδομένες συνθήκες.

Άρα από τους αριθμούς στο σύνολο 1,2,\ldots,50 μπορούμε να έχουμε 0,10,20,30,40 ή 50 άσπρους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης