Τα 11 σκαλοπάτια

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Τα 11 σκαλοπάτια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μαρ 01, 2018 9:44 pm

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 688
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Μαρ 01, 2018 10:28 pm

Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το 11ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε 2^{10}=1024 τρόπους.


Houston, we have a problem!
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Μαρ 01, 2018 10:49 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 10:28 pm
Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το 11ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε 2^{10}=1024 τρόπους.
:clap2: Πολύ ωραία! Την ισοπέδωσες. Μπράβο σου. Ας γράψω και τον τρόπο που την σκέφτηκα εγώ και ας είναι πιο άκομψος από τον δικό σου.

Έστω P(n) το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ανέβουμε τα n σκαλοπάτια. Τότε ισχύει το παρακάτω αποτέλεσμα:

P(n)= P(n – 1) + P(n – 2) + … + P(0)

όπου κατά σύμβαση P(0)=1.

Εξήγηση:

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά το πρώτο σκαλοπάτι τότε μας μένουν άλλα n-1 σκαλοπάτια να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναιP(n-1).

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά τα δύο πρώτα σκαλοπάτια τότε μας μένουν άλλα n-2 σκαλοπάτια να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναι P(n-2).

-.....

-Αν έχουμε ανέβει αρχικά τα n-1 πρώτα σκαλοπάτια τότε μας μένει άλλο ένα σκαλοπάτι να ανέβουμε και το πλήθος των τρόπων είναι P(1).

-Τέλος ανεβαίνουμε και τα n κατευθείαν, άλλος ένας τρόπος (το P(0) που λέγαμε).

Επαγωγικά δείχνουμε ότι P(n)= 2^{n-1}.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Μαρ 01, 2018 11:37 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 10:28 pm
Κάθε σκαλοπάτι εκτός από το 11ο μπορούμε είτε να το πατάμε είτε να το παραβλέπουμε. Συνεπώς έχουμε 2^{10}=1024 τρόπους.
Κάποιος είναι έτοιμος να "πάρει κεφάλια" στον αρχιμήδη!!! Καλή σου επιτυχία Διονύση!!!
Υ.γ: έστω και ετεροχρονισμένα σκέφτηκα όπως ο κύριος Λάμπρος


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Παρ Μαρ 02, 2018 12:07 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 9:44 pm
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.
Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μαρ 02, 2018 12:19 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Παρ Μαρ 02, 2018 12:07 am
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 9:44 pm
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.
Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.
Fibonacci.... ;)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης