Απόδειξη ταυτότητας

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 78
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Απόδειξη ταυτότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Σεπ 14, 2018 12:50 pm

Να αποδείξετε με αναλυτικό τρόπο την ταυτότητα

\binom{n}{2}=\binom{k}{2}+k(n-k)+\binom{n-k}{2}

1\leq k\leq n

Να βρείτε ένα συνδυαστικό επιχείρημα για την ταυτότητα

Αυτήν η άσκηση είναι η τελευταία από εδώ http://www.samos.aegean.gr/math/felouzis/ask1.pdf



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 720
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Απόδειξη ταυτότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Σεπ 14, 2018 3:30 pm

Θέλουμε να επιλέξουμε δύο στοιχεία από ένα σύνολο n στοιχείων χωρίς να μας νοιάζει η σειρά επιλογής. Αυτό μπορεί να γίνει από τη μια με \binom{n}{2} τρόπους.

Από την άλλη όμως μπορούμε να μετρήσουμε το πλήθος αυτών των επιλογών χωρίζοντας το σύνολο των n στοιχείων σε ένα σύνολο A με k στοιχεία, όπου n\geq k\geq 0 και σε ένα B με n-k. Οπότε έχουμε 3 περιπτώσεις:

Να είναι και οι δύο αριθμοί από το A, άρα έχουμε \binom{k}{2} τρόπους.

Να είναι και οι δύο αριθμοί από το B, άρα έχουμε \binom{n-k}{2} τρόπους.

Να είναι ο ένας από το A και ο άλλος από το B, άρα έχουμε k(n-k) τρόπους.

Η προσθετική αρχή μας λέει ότι συνολικά το πλήθος των επιλογών είναι \binom{k}{2}+\binom{n-k}{2}+k(n-k), άρα τελικά \binom{n}{2}=\binom{k}{2}+\binom{n-k}{2}+k(n-k), n\geq k\geq 0.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης