Πιθανότητα

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Πιθανότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Νοέμ 25, 2018 7:13 pm

27 παίκτες χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων. Δεδομένου ότι ο Γιάννης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιάννης και ο Ανδρέας να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Διαφορετική εκφώνηση αποφεύγοντας την ορολογία των πιθανοτήτων:

Έστω N το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε 27 παίκτες σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων ώστε ο Γιάννης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα. Έστω M το πλήθος αυτών των διαχωρισμών για τους οποίους ο Γιάννης και ο Ανδρέας βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Να βρεθεί το M/N.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πιθανότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:46 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 7:13 pm
27 παίκτες χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων. Δεδομένου ότι ο Γιάννης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιάννης και ο Ανδρέας να βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Διαφορετική εκφώνηση αποφεύγοντας την ορολογία των πιθανοτήτων:

Έστω N το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε 27 παίκτες σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων ώστε ο Γιάννης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης να είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα. Έστω M το πλήθος αυτών των διαχωρισμών για τους οποίους ο Γιάννης και ο Ανδρέας βρίσκονται στην ίδια ομάδα;

Να βρεθεί το M/N.
Έστω n=3k,k=2,3,4,... παίκτες.

Θεωρούμε τις ομάδες κελιά όπως στο παρακάτω σχήμα. Κάθε κελί έχει k θέσεις. Θα υπολογίσουμε πρώτα το N.

(κατά τον υπολογισμό του προκύπτει και το M).

Στο 1ο και στο 2ο κελί βάζουμε τον Γιάννη και τον Βασίλη αντίστοιχα.

A:|Γ_ _..._| ( k-1 κενές θέσεις )
B:|Β_ _..._| ( k-1 κενές θέσεις )
C:|_ _ ..._ _| ( k κενές θέσεις )

Διαμερίζουμε το σύνολο με τις δυνατές καταστάσεις σε δύο ξένα υποσύνολα (οι δύο παρακάτω περιπτώσεις).

1η περίπτωση: Ο Αντρέας μπαίνει στο κελί Α.

Έχουν απομείνει τώρα 3k-3 παίκτες. Για να καλύψουμε το πρώτο κελί έχουμε \dbinom{3k-3}{k-2} τρόπους.

Για να καλύψουμε το δεύτερο κελί έχουμε \dbinom{(3k-3)-(k-2)}{k-1}=\dbinom{2k-1}{k-1} τρόπους. Από την

πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε τελικά \dbinom{3k-3}{k-2}\dbinom{2k-1}{k-1} τρόπους για να καλυφθούν τα δύο

πρώτα κελιά. Για κάθε έναν από αυτούς το τρίτο κελί είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

2η περίπτωση: Ο Αντρέας μπαίνει στο κελί C.

Έχουν απομείνει 3k-3 παίκτες. Για να καλύψουμε το πρώτο κελί έχουμε \dbinom{3k-3}{k-1} τρόπους.

Για να καλύψουμε το δεύτερο κελί έχουμε \dbinom{(3k-3)-(k-1)}{k-1}=\dbinom{2k-2}{k-1} τρόπους. Από την

πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε τελικά \dbinom{3k-3}{k-1}\dbinom{2k-2}{k-1} τρόπους για να καλυφθούν τα δύο

πρώτα κελιά. Για κάθε έναν από αυτούς το τρίτο κελί είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Αθροίζοντας τα στοιχεία των δύο παραπάνω ξένων συνόλων (προσθετική αρχή) παίρνουμε τελικά ότι

N= \dbinom{3k-3}{k-2}\dbinom{2k-1}{k-1}+ \dbinom{3k-3}{k-1}\dbinom{2k-2}{k-1}.

Το M είναι φανερό από την 1η περίπτωση ότι είναι \dbinom{3k-3}{k-2}\dbinom{2k-1}{k-1}.

Επομένως \dfrac{M}{N}=\dfrac{\dbinom{3k-3}{k-2}\dbinom{2k-1}{k-1}}{\dbinom{3k-3}{k-2}\dbinom{2k-1}{k-1}+ \dbinom{3k-3}{k-1}\dbinom{2k-2}{k-1}}.

Για n=27 δηλαδή k=9 παίρνουμε \dfrac{M}{N}=\dfrac{8}{17}}.

Edit: Διόρθωση μετά το σχόλιο του κ.Δημήτρη παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Δευ Νοέμ 26, 2018 12:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πιθανότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:57 pm

Λάμπρο, έχω την εντύπωση ότι δεν έλαβες υπόψη ότι ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πιθανότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Νοέμ 26, 2018 12:01 am

Demetres έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:57 pm
Λάμπρο, έχω την εντύπωση ότι δεν έλαβες υπόψη ότι ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα.
Πολύ σωστά. Θα το διορθώσω. Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πιθανότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Νοέμ 26, 2018 2:04 pm

Σωστά. Μια πιο σύντομη απόδειξη είναι η εξής:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ο Ανδρέας είναι στην πρώτη ομάδα και ο Βασίλης στην Δεύτερη. Τότε ο Γιάννης δεν μπορεί να είναι στην δεύτερη. Άρα υπάρχουν 17 κενές θέσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται. 8 στην πρώτη ομάδα και 9 στην τρίτη. Άρα η πιθανότητα να βρεθεί στην πρώτη ομάδα είναι \frac{8}{17}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης