Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

gschwindi · #1

Το θέμα είναι απο το βιβλίο του γερμανού μαθηματικού Engels, Problem-Solving strategies.

Για το τριώνυμο $ax^{2} + bx + c$ μπορούμε να κάνουμε μία απο τις δύο παρακάτω κινήσεις τη φορά:

(Α) Να αλλάξουμε τις θέσεις των a, c

. Π.χ. $x^2 + 3x + 2 \rightarrow 2x^2 + 3x + 1$ .
(Β) Όπου $x \rightarrow x+t$ για κάποιον $t \in \mathbb{R}$ . Π.χ. $x^2 + 3x + 2 \rightarrow (x+\sqrt{2})^2 + 3(x+\sqrt{2}) + 2 = x^2 + (2\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} + 4$ .

Είναι δυνατόν, εκτελώντας κάποιες απο τις παραπάνω κινήσεις, να φτάσουμε στο τριώνυμο x^2-x-1

απο το τριώνυμο x^2-x-2

;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Έστω ένα τριώνυμο ax^2+bx+c

και $\Delta =b^2-4ac$ η διακρίνουσα του.
Παρατηρούμε ότι μετά από μία αλλαγή τύπου 1) η διακρίνουσα είναι $\Delta =b^2-4ca$ άρα μένει η ίδια.
Έστω τώρα μία αλλαγή τύπου 2) και το τριώνυμο γίνεται
$a\left ( x+t \right )^2+b(x+t)+c=a\left ( x^2+t^2+2xt \right )+b(x+t)+c=ax^2+x\left ( 2at+b \right )+\left ( at^2+bt+c \right )$

Παρατηρούμε πως αυτό το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\left ( 2at+b \right )^2-4a\left ( at^2+bt+c \right )=4a^2t^2+b^2+4atb-4a^2t^2-4atb-4ac=b^2-4ac$
Άρα πάλι η διακρίνουσα μένει ίδια.

Άρα το τριώνυμο x^2-x-2

μετά από μετασχηματισμούς θα έχει πάντα διακρίνουσα 1-4(-2)=9

Όμως το

έχει διακρίνουσα 1-4(-1)=5

Άρα αδύνατον.

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 7:01 pm
Καλησπέρα!

Έστω ένα τριώνυμο και $\Delta =b^2-4ac$ η διακρίνουσα του.
Παρατηρούμε ότι μετά από μία αλλαγή τύπου 1) η διακρίνουσα είναι $\Delta =b^2-4ca$ άρα μένει η ίδια.
Έστω τώρα μία αλλαγή τύπου 2) και το τριώνυμο γίνεται
$a\left ( x+t \right )^2+b(x+t)+c=a\left ( x^2+t^2+2xt \right )+b(x+t)+c=ax^2+x\left ( 2at+b \right )+\left ( at^2+bt+c \right )$

Παρατηρούμε πως αυτό το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\left ( 2at+b \right )^2-4a\left ( at^2+bt+c \right )=4a^2t^2+b^2+4atb-4a^2t^2-4atb-4ac=b^2-4ac$
Άρα πάλι η διακρίνουσα μένει ίδια.

Άρα το τριώνυμο μετά από μετασχηματισμούς θα έχει πάντα διακρίνουσα

Όμως το έχει διακρίνουσα
Άρα αδύνατον.

gschwindi · #4

Όμορφα.

Άλλη μία παρόμοια είναι η:

Έστω ότι αρχικά μας δίνεται το τριώνυμο ax^2 + bx + c.

Παρατηρούμε πως για τον μετασχηματισμό (Α) αν βάλω x = 1

, η τιμή του τριωνύμου δεν αλλάζει και ισούται με a+b+c

.
Παρατηρούμε όμως και στον μετασχηματισμό (Β) πως αν βάλω στο τριώνυμο μετα τον σχηματισμό τον αριθμό $x \rightarrow 1 - t$ παίρνουμε a + b + c

. Έπεται λοιπόν, ότι για κάθε μετασχηματισμό, υπάρχει πραγματικός αριθμός

για τον οποίο ισχύει ότι αν βάλω όπου $x \rightarrow k$ παίρνω a+b+c

.

Όμως για το x^2 - x + 2

, το αθροισμα συντελεστών είναι

. Συνεπώς θα πρέπει και x^2-x-1=2

, για κάποιο $x \in \mathbb{R}$ , άτοπο.

Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Re: Συνδυαστική άσκηση με τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση