Αναμνηστικά

#1

Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό συμμετείχαν 120 μαθητές από διάφορες ομάδες. Κατά την τελετή λήξης, κάθε μαθητής έδωσε ένα αναμνηστικό σε κάθε άλλο συμμετέχοντα από την ίδια ομάδα, καθώς και ένα αναμνηστικό σε έναν συμμετέχοντα από κάθε άλλη ομάδα.
Δεδομένου ότι δόθηκαν συνολικά 3840

αναμνηστικά, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ομάδων που συμμετείχαν στο διαγωνισμό;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 6:23 pm
Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό συμμετείχαν 120 μαθητές από διάφορες ομάδες. Κατά την τελετή λήξης, κάθε μαθητής έδωσε ένα αναμνηστικό σε κάθε άλλο συμμετέχοντα από την ίδια ομάδα, καθώς και ένα αναμνηστικό σε έναν συμμετέχοντα από κάθε άλλη ομάδα.
Δεδομένου ότι δόθηκαν συνολικά αναμνηστικά, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ομάδων που συμμετείχαν στο διαγωνισμό;

Καλησπέρα!

Έστω $\rm a_1,a_2,...,a_n$ οι ομάδες και $\rm k_i$ το πλήθος των μαθητών της $\rm a_i$ ομάδας.
Ο κάθε μαθητής της $\rm a_i$ ομάδας έδωσε συνολικά $\rm k_i-1+n-1$ αναμνηστικά.
Άρα αφού $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}k_i=120}$ θα πρέπει $\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}(k_i+n-2)k_i=3840\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}k_i^2+(n-2)\sum_{i=1}^{n}k_i=3840\Leftrightarrow }$
$\displaystyle {\rm \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}k_i^2+(n-2) 120=3840\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}k_i^2+120n=4080}$
Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε πως $\displaystyle {\dfrac{\rm \sqrt{\displaystyle {\sum_{i=1}^{n}k_i^2}}}{\rm n}}\geq \dfrac{\rm \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}k_i}}{\rm n}\Leftrightarrow \rm \sum_{i=1}^{n}k_i^2\geq \dfrac{120^2}{n}$
Έτσι $\displaystyle {\rm 4080=\sum_{i=1}^{n}k_i^2+120n\geq \dfrac{120^2}{n}+120n\Leftrightarrow 34\geq n+\dfrac{120}{n}\Leftrightarrow (n-30)(n-4)\leq 0}$
Δηλαδή $\rm n_{max}=30$ και σε αυτή την περίπτωση κάθε ομάδα έχει

μαθητές.

#3

https://artofproblemsolving.com/communi ... 25p8291612

Henri van Aubel · #4

Πολύ ωραίο και σχετικά εύκολο σε σχέση με άλλα πολύ δύσκολα της συνδυαστικής, η οποία είναι η πιο δύσκολη σε όλους τους διαγωνισμούς!

Έστω $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ τα πλήθη των

ομάδων με $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=120$ .

Ο κάθε μαθητής της

ομάδας με πλήθος $m_{i}$ θα δώσει $m_{i}-1$ αναμνηστικά στους μαθητές της δικής του ομάδας και n-1

αναμνηστικά στους μαθητές των άλλων ομάδων, οπότε συνολικά έδωσε $m_{i}+n-2$ αναμνηστικά και άρα η ομάδα

έδωσε $m_{i}\left ( m_{i}+n-2 \right )$ αναμνηστικά. Συνεπώς, όλα τα αναμνηστικά που δόθηκαν ήταν ίσα με $a_{1}\left ( a_{1}+n-2 \right )+a_{2}\left ( a_{2}+n-2 \right )+...+a_{n}\left ( a_{n}+n-2 \right )$ που βγαίνει ίσο με $\left ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right )+120n-240=3840$ . Συνεπώς είναι $\left ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right )+120n=4080$ από την οποία είναι $120n< 4080\Leftrightarrow n< 34$ . Εδώ θα παρατηρήσουμε ότι για $n\in \left \{ 31,32,33 \right \}$ έχουμε άτοπο, έχοντας υπόψη την σχέση $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=120,$ όμως για n=30,

έχουμε δεκτή λύση.
Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ανισότητα $\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \geq \frac{\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )^{2}}{n}$ από την οποία βγαίνει $\displaystyle \frac{120^{2}}{n}+120n\leq 4080\Leftrightarrow ...n\leq 30$

Αναμνηστικά

Αναμνηστικά

Re: Αναμνηστικά

Re: Αναμνηστικά

Re: Αναμνηστικά

Μέλη σε σύνδεση