Για δυνατούς λύτες!

[Lymperis Karras]

Ο κ. Φράγκος μετά της συζύγου του κάλεσαν 4 ζευγάρια σπίτι τους για να φάνε. Σε κάποια στιγμή ο κ. Φράγκος ρώτησε τους συνδαιτημόνες του πόσους γνωρίζουν για πρώτη φορά στο τραπέζι και πήρε 9 διαφορετικές απαντήσεις. Πόσους πρωτογνώρισε η κα. Φράγκου;
Διευκρινίσεις: Ο κ. Φράγκος γνωρίζει τουλάχιστον έναν από κάθε ζευγάρι. Η γνωριμία είναι συμμετρική (αν ο ένας είναι γνωστός του άλλου, τότε και ο άλλος είναι γνωστός του ενός). Εννοείται πως ανά ζευγάρι, οι σύζυγοι γνωρίζονται μεταξύ τους (ο άντρας με τη γυναίκα).

[Ανδρέας Πούλος]

Η κύρια Φράγκου (Φ2) δεν γνωρίζει 4 άτομα, δύο άνδρες και δύο γυναίκες.
Ο συνημμένος πίνακας περιγράφει τη λύση στο πρόβλημα.

[Mihalis_Lambrou]

Δεν έγραψα λύση γιατί την γνώριζα εκ των προτέρων. Άλλωστε το πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό και υπάρχει σε πολλά σημεία, όπως για παράδειγμα το βρίσκει κανείς σε κάποιο από τα βιβλία του Martin Gardner. Το θυμάμαι από τα μαθητικά μου χρόνια.

Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλα τα περιοδικά με μόνιμη στήλη προβλημάτων-γρίφων όπως π.χ. στο Popular Mechanics εδώ.

Επίσης στο Youtube εδώ.

Αν ψάξει κανείς στο Google την φράση puzzle 4 couples each different answer, θα βρει πολύ υλικό.

[S.E.Louridas]

Δεν έγραψα λύση γιατί την γνώριζα εκ των προτέρων. Άλλωστε το πρόβλημα είναι αρκετά γνωστό και υπάρχει σε πολλά σημεία, όπως για παράδειγμα το βρίσκει κανείς σε κάποιο από τα βιβλία του Martin Gardner. Το θυμάμαι από τα μαθητικά μου χρόνια.

Επίσης υπάρχει σε σχεδόν όλα τα περιοδικά με μόνιμη στήλη προβλημάτων-γρίφων όπως π.χ. στο Popular Mechanics εδώ.

Επίσης στο Youtube εδώ.

Αν ψάξει κανείς στο Google την φράση puzzle 4 couples each different answer, θα βρει πολύ υλικό.

Καλημέρα. Πράγματι Μιχάλη.
Αν μου επιτρέπεται, είναι ένα πρόβλημα που είναι πολύ σημαντικό διδακτικά και δείχνει την δύναμη του διαγράμματος συσχετισμού για την οπτική αποκωδικοποίηση της λύσης σε τέτοια προβλήματα, όπως έκανε ο Ανδρέας Πούλος. Το πρόβλημα αυτό υπάρχει και στο λίαν εξαιρετικό βιβλίο, και στο πνεύμα αυτό που ανέφερα, που διδάσκεται στο Ε.Μ.Π. "Διακριτά Μαθηματικά" του Καθηγητή του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου κ. Αλέξανδρου Παπαϊωάννου.

[Lymperis Karras]

Η κύρια Φράγκου (Φ2) δεν γνωρίζει 4 άτομα, δύο άνδρες και δύο γυναίκες.
Ο συνημμένος πίνακας περιγράφει τη λύση στο πρόβλημα.

Καλημέρα. Εάν βλέπω καλά στο συννημένο, σε όλες τις περιπτώσεις ο αριθμός των αγνώστων είναι 7, ενώ έχουμε 8 διαφορετικές απαντήσεις αν εξαιρέσουμε την κα Φράγκου. Είμαι σωστός ή μήπως έχω καταλάβει κάτι λάθος;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Η κύρια Φράγκου (Φ2) δεν γνωρίζει 4 άτομα, δύο άνδρες και δύο γυναίκες.
Ο συνημμένος πίνακας περιγράφει τη λύση στο πρόβλημα.

Καλημέρα. Εάν βλέπω καλά στο συννημένο, σε όλες τις περιπτώσεις ο αριθμός των αγνώστων είναι 7, ενώ έχουμε 8 διαφορετικές απαντήσεις αν εξαιρέσουμε την κα Φράγκου. Είμαι σωστός ή μήπως έχω καταλάβει κάτι λάθος;

Καλά καταλαβαίνεις.
Ο πίνακας δεν δίνει την λύση του προβλήματος.
Με βάση τον πίνακα ολοι εκτός της κ.Φράγκου δεν γνωρίζουν 2.
Αλλά εκτός αυτού πως προέκυψε ο πίνακας ;

[Lymperis Karras]

Παραθέτω την λύση μου. Δεν διαφέρει πολύ από το βίντεο που έστειλε ο κ. Μιχάλης, αλλά ας την αφήσουμε εδώ ως μια πλήρη απάντηση στο θέμα.
Καταρχάς, έχουμε ότι ο καθένας (εκτός του κου Φράγκου) είχε το πολύ αγνώστους μείον τον εαυτό του και την/τον σύζυγό του.
Εφόσον οι απαντήσεις ήταν και διαφορετικές, έχουμε ότι όλες οι πιθανές απαντήσεις είναι . Μπορούμε λοιπόν να παραστήσουμε τους συμμετέχοντες στο δείπνο με σημεία , έτσι ώστε κάθε ένα σημείο να αντιστοιχεί σε ένα άτομο. Το γράμμα αντιστοιχεί στον κο Φράγκο, και τα υπόλοιπα σημεία ακολουθούν τους εξής κανόνες: . Οι αριθμοί που αντιστοιχούν στο κάθε σημείο υποδηλώνουν τους αγνώστους του ανθρώπου στον οποίο παραπέμπει το σημείο. Εφόσον το σημείο ενώνεται με σημεία, θα ενώνεται με όλα τα άλλα εκτός από το σημείο . Έτσι, όλα τα σημεία θα έχουν τουλάχιστον έναν άγνωστο, το ,εκτός από το . Άρα, το γνωρίζει το και συνεπάγεται άμεσα πως τα δύο σημεία είναι ζευγάρι.Ύστερα, το σημείο ενώνεται με σημεία, δηλαδή με όλα εκτός του (δεν ενώνεται με κανέναν) και του (που έχει συνδεθεί ήδη με το και εφόσον η τιμή του είναι δεν μπορεί να συνδεθεί με άλλο σημείο). Άρα, το γνωρίζει τα σημεία και εφόσον το είναι ζευγάρι με το , έχουμε ότι τα είναι ζευγάρι. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι τα επόμενα ζευγάρια είναι και μένει το σημείο , το οποίο εφόσον δεν είναι μέλος ενός εκ των προηγουμένων ζευγαριών, είναι η κα Φράγκου.
Άρα, η κα Φράγκου (αλλά όπως προκύπτει ΚΑΙ ο κος Φράγκος) γνωρίζουν άτομα για πρώτη φορά.
Διευκρίνιση: Η ένωση δύο σημείων υποδηλώνει πως τα σημεία δεν γνωρίζονται μεταξύ τους

Κ. Φραγκος.png (32.7 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

[Ανδρέας Πούλος]

Στο κείμενο αναφέρεται ότι ο κύριος Φράγκου ρώτησε όλους τους συμμετέχοντες στο δείπνο και πήρε 9 διαφορετικές απαντήσεις.
Αυτό σημαίνει ότι απάντησε και η κυρία Φράγκου.
Ο πίνακας εκφράζει τη λύση στο πρόβλημα, προφανώς με όλες τις δυνατές παραλλαγές του.
Σε κάθε περίπτωση όμως, οι άγνωστοι της Φράγκου είναι πάντα 4.

[vassilis314]

Καλημέρα. Δεν διάβασα τις λύσεις οπότε η παρακάτω μπορεί να είναι και ίδια με τις υπάρχουσες.

Το έλυσα λαμβάνοντας υπόψη ποσους γνώριζαν και όχι ποσους δεν γνώριζαν (μη το ψάχνετε, άβυσσος η ψυχη του ανθρώπου).

Στην ερώτηση "πόσους γνωρίζετε για πρώτη φορά στο τραπέζι;" οι δυνατές απαντήσεις μπορούν να έχουν τιμές από 0 (τους ξέρω όλους) μέχρι 8 (δεν ξέρω κανέναν από τα άλλα ζευγάρια). Επειδή πήρε 9 διαφορετικές απαντήσεις οι απαντήσεις είναι οι τιμές 0 έως 8. Συνεπώς στην ερώτηση "πόσους γνωρίζατε και πριν;" θα έπαιρνε πάλι 9 διαφορετικές απαντήσεις (με τιμές από 1 έως 9).

Έστω αυτός που γνώριζε x άτομα

Ποιος είχε τη τιμή 1 (ο );
Αυτός που γνώριζε μόνο έναν (γνώριζε ουσιαστικά τον/την σύζυγό του).

Ποιος είχε τη τιμή 9 (ο );
Αυτός τους γνώριζε όλους άρα και τον οπότε οι ήταν ζευγάρι.

Ομοίως ποιος είχε τη τιμή 2 (ο );
Αυτός που γνώριζε μόνο τον/την σύζυγό του συν έναν ακόμα (ποιον? τον )

Ποιος είχε τη τιμή 8 (ο );
Αυτός που γνώριζε όλους εκτός από έναν (ποιόν; τον ). Άρα γνώριζε σίγουρα τον . Συνεπώς τα άτομα που γνώριζε ο είναι ο και το .

Άρα τα ζευγάρια είναι (), () και συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε στα () (). Το μόνο άτομο που μένει είναι η κα.Φραγκου που αντιστοιχεί στο δηλαδή γνώριζε 5 άτομα οπότε δεν γνώριζε 4.