Αριθμοί στον πίνακα
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Αριθμοί στον πίνακα
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί .
Σε κάθε βήμα επιλέγουμε αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα,
τους σβήνουμε και γράφουμε στον πίνακα τον αριθμητικό τους μέσο.
Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι ένας μόνο αριθμός να υπάρχει στον πίνακα.
Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του αριθμού αυτού.
Σε κάθε βήμα επιλέγουμε αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα,
τους σβήνουμε και γράφουμε στον πίνακα τον αριθμητικό τους μέσο.
Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι ένας μόνο αριθμός να υπάρχει στον πίνακα.
Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του αριθμού αυτού.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αριθμοί στον πίνακα
Έστω το σύνολο όλων των αριθμών που μπορούν να προκύψουν με τον τερματισμό της διαδικασίας.
Έστω επίσης το ζητούμενο μέγιστο του .
Παρατηρώ ότι τέτοια ώστε
και .
Επίσης, αν ικανοποιούν την και επιπλέον , τότε και κάθε μετάθεση
αυτής της άδας ικανοποιεί τα παραπάνω.
Άρα, από την ανισότητα της αναδιάταξης για να βρούμε το αρκεί να ελέγξουμε άδες με .
Θα δείξουμε ότι .
Αρχικά, δείχνουμε ότι . Διατάσσουμε στον πίνακα τους αριθμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά
σε αύξουσα σειρά. Έπειτα σε κάθε βήμα αντικαθιστούμε τους δύο αριστερά αριθμούς με τον αριθμητικό μέσο τους, τον οποίο τοποθετούμε
αριστερά της υπόλοιπης λίστας.
Έτσι, στο τέλος θα μείνει ο αριθμός .
Πάμε τώρα επαγωγικά να δείξουμε το ζητούμενο.
Για έχουμε εύκολα ότι , οπότε ελέγxουμε ότι .
Έστω ώστε .
Θεωρούμε ,όπως πάνω.
Θα δείξουμε ότι . Έστω προς άτοπο ότι . Τότε και .
Άρα:
, άτοπο.
Αφού τώρα έχουμε ότι όπου .
Για να είναι λοιπόν το μέγιστο πρέπει ,οπότε θα έχουμε
όπως θέλαμε.
Έστω επίσης το ζητούμενο μέγιστο του .
Παρατηρώ ότι τέτοια ώστε
και .
Επίσης, αν ικανοποιούν την και επιπλέον , τότε και κάθε μετάθεση
αυτής της άδας ικανοποιεί τα παραπάνω.
Άρα, από την ανισότητα της αναδιάταξης για να βρούμε το αρκεί να ελέγξουμε άδες με .
Θα δείξουμε ότι .
Αρχικά, δείχνουμε ότι . Διατάσσουμε στον πίνακα τους αριθμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά
σε αύξουσα σειρά. Έπειτα σε κάθε βήμα αντικαθιστούμε τους δύο αριστερά αριθμούς με τον αριθμητικό μέσο τους, τον οποίο τοποθετούμε
αριστερά της υπόλοιπης λίστας.
Έτσι, στο τέλος θα μείνει ο αριθμός .
Πάμε τώρα επαγωγικά να δείξουμε το ζητούμενο.
Για έχουμε εύκολα ότι , οπότε ελέγxουμε ότι .
Έστω ώστε .
Θεωρούμε ,όπως πάνω.
Θα δείξουμε ότι . Έστω προς άτοπο ότι . Τότε και .
Άρα:
, άτοπο.
Αφού τώρα έχουμε ότι όπου .
Για να είναι λοιπόν το μέγιστο πρέπει ,οπότε θα έχουμε
όπως θέλαμε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης