51 σημεία στο επίπεδο

#1

Στο επίπεδο δίνονται

σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός.

Να δείξετε ότι τουλάχιστον το $49 \%$ αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Επαναφορά!

harrisp · #4

Καλησπέρα σε όλους. Μια προσπάθεια στο όμορφο και δύσκολο κτά την γνώμη μου πρόβλημα. Βέβαια μετά το hint του κύριου Δημήτρη τα πράγματα γίνονται πιο εύκολα.

Αρχικά πρέπει να καταλάβουμε ότι ο χωρισμός των σημείων σε δύο σύνολα δεν είναι τυχαίος. Συγκεκριμένα οι αποστάσεις στην πρώτη ομάδα είναι τριών μορφών:

1) $\sqrt {(2n-2k)^2+(2l-2m)^2} = \sqrt {\alpha \rho \tau \iota o \varsigma} = \alpha \rho \tau \iota o \varsigma}$

2) $\sqrt {(2n-2k)^2 + (2p+1-2r-1)^2}=\sqrt {\alpha \rho \tau \iota o \varsigma}= \alpha \rho \tau \iota o \varsigma$

3) $\sqrt {(2p+1-2r-1)^2+ (2t+1-2s-1)^2}=\sqrt {\alpha \rho \tau \iota o \varsigma}= \alpha \rho \tau \iota o \varsigma$

Συνεπώς οι αποστάσεις των σημείων της πρώτης ομάδας είναι πάντοτε άρτιος αριθμός.

Εργαζόμενοι παρόμοια και για το Β σύνολο παίρνουμε ότι οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων του είναι πάντα άρτιες.

Ομως αν πάρουμε δύο τυχαία σημεία ένα από το Α και ένα από το Β σύνολo η απόσταση τους είναι περιττός αριθμός.

Έστω για ευκολία

ο αριθμός των στοιχείων (σημείων) του Α συνόλου και

του Β συνόλου. Τότε σύμφωνα με την προηγουμενη πρόταση ο αριθμός των περιττών αποστάσεων είναι

. Το γινόμενο όμως δεν μας βολεύει.

Θα χρησιμοποιήσουμε την ΑΜ-ΓΜ για δύο όρους:

$a+b \geq 2\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

$\dfrac{(a+b)^2}{4}\geq ab$ .

Οπότε η μέγιστη τιμή των περιττών αποστάσεων είναι $\dfrac{(a+b)^2}{4}$

Ισχύει a+b=51

άρα η μέγιστη τιμή των περιττών αποστάσεων είναι:

$\lambda =\dfrac{(51)^2}{4}$ . Ομως εμείς ψάχνουμε ποσοστό πρέπει να διαιρέσουμε λοιπόν τον μέγιστο αριθμό των περιττών αποστάσεων με τον αριθμό των σημείων που ισούται με:

$\kappa=\bionom {51}{2}= \dfrac {51!}{49!2!}=25\cdot 51$ .

Συμπερασματικά το ποσοστό των περιττών αποστάσεων είναι:

$\dfrac {\kappa} {\lambda}= \dfrac {51^2}{100\cdot 51}=51\%$ και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

#5

51 σημεία στο επίπεδο

51 σημεία στο επίπεδο

Re: 51 σημεία στο επίπεδο

Re: 51 σημεία στο επίπεδο

Re: 51 σημεία στο επίπεδο

Re: 51 σημεία στο επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση