Ανισότητα με απόλυτες τιμές

#1

Να αποδείξετε ότι για κάθε $a, b,t \in \mathbb{R}$ ισχύει

$\displaystyle{\left| {a + \left( {1 + t} \right)b} \right| + \left| {a + \left( {1 - t} \right)b} \right| \ge \frac{{2\left| t \right|}}{{2 + \left| t \right|}}\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right).}$

#2

emouroukos έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε $a, b,t \in \mathbb{R}$ ισχύει

$\displaystyle{\left| {a + \left( {1 + t} \right)b} \right| + \left| {a + \left( {1 - t} \right)b} \right| \ge \frac{{2\left| t \right|}}{{2 + \left| t \right|}}\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right).}$

Αν

, η ανισότητα είναι τετριμμένη. Αν $t\ne 0$ , έχουμε

$\dfrac{1}{|t|}\left( \left| {a + \left( {1 + t} \right)b} \right| + \left| {a + \left( {1 - t} \right)b} \right|\right)=|\frac{a+b}{t}+b|+|b-\frac{a+b}{t}|\ge 2|b|$

και

$\dfrac{1}{2}\left( \left| {a + \left( {1 + t} \right)b} \right| + \left| {a + \left( {1 - t} \right)b} \right|\right)=|\frac{a+b}{2}+\frac{tb}{2}|+|\frac{a+b}{2}-\frac{tb}{2}|\ge |a+b|$

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{\left(\dfrac{1}{|t|}+\dfrac{1}{2}\right)\left( \left| {a + \left( {1 + t} \right)b} \right| + \left| {a + \left( {1 - t} \right)b} \right|\right)\geq 2|b|+|a+b|\geq 2|b|+|a|-|b|=|a|+|b|},$

απ'όπου το συμπέρασμα έπεται άμεσα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Είναι φανερό ότι το $a,b\epsilon \mathbb{R}$ δεν χρησιμοποιήθηκε πουθενά.
Η ανισότητα όπως φαίνεται και από την απόδειξη του Αχιλλέα ισχύει σε χώρους με νόρμα.

Ανισότητα με απόλυτες τιμές

Ανισότητα με απόλυτες τιμές

Re: Ανισότητα με απόλυτες τιμές

Re: Ανισότητα με απόλυτες τιμές

Μέλη σε σύνδεση