Αθροίσματα

#1

O Πέτρος πρόσθεσε 10 διαδοχικές δυνάμεις του 2, ξεκινώντας από κάποια δύναμη του 2, ενώ ο Νίκος πρόσθεσε αρκετούς διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, αρχίζοντας από το 1. Είναι δυνατόν να έχουν το ίδιο αποτέλεσμα;

harrisp · #2

Καλησπέρα!

Η μορφή του αριθμού του Πέτρου είναι:

$2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+2^{x+4}+2^{x+5}+2^{x+6}+2^{x+7}+2^{x+8}+2^{x+9}$

2^x(1+2+2^2+2^3+...+2^9)

$2^x(2^{10}-1)$

Η μορφή του αριθμού του Nίκου είναι:

$\dfrac {y(y+1)}{2}$

Θέλουμε:

$2^{x+1}(2^{10}-1)=y(y+1)$ που ισχύει όταν π.χ οι $2^{x+1}(2^{10}-1)$ είναι διαδοχικοί που συμβαίνει για $x=9,y=2^{10}-1$

#3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Θέλουμε:

$2^{x+1}(2^{10}-1)=y(y+1)$ δηλαδή όταν οι $2^{x+1}(2^{10}-1)$ είναι διαδοχικοί

Η χρήση του «δηλαδή» εδώ είναι λανθασμένη. Πιθανώς π.χ. να υπάρχουν και άλλες λύσεις όπου οι $2^{x+1}$ και $2^{10}-1$ δεν είναι διαδοχικοί.

Επειδή εδώ ενδιαφερόμαστε μόνο για την ύπαρξη τουλάχιστον μίας λύσης, απλά αγνοώντας το «δηλαδή» και δηλώνοντας ότι μία λύση είναι η $x=9,y=2^{10}-1$ είμαστε εντάξει.

Ας βρεθούν όμως και οι υπόλοιπες λύσεις. [Αν δεν έχω κάνει λάθος όντως δεν υπάρχουν άλλες. Χρειάζεται όμως απόδειξη.]

Αθροίσματα

Αθροίσματα

Re: Αθροίσματα

Re: Αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση