Τριγωνομετρικό σύστημα

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε το παρακάτω σύστημα

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{\cos (x^2-y^2)} -y \cdot \tan (x^2-y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \\ \dfrac{y}{\cos (x^2-y^2)} -x \cdot \tan (x^2-y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \end{matrix}\right.$ .

kostas232 · #2

Καλημέρα σε όλους!

Αν προσθέσουμε και αφαιρέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις του συστήματος, προκύπτουν αντίστοιχα οι σχέσεις:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+y}{\cos(x^2-y^2)}-(x+y)\cdot \tan(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \\ \dfrac{x-y}{\cos(x^2-y^2)}+(x-y)\cdot \tan{x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}-\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \end{matrix}\right}$

Έστω $\displaystyle{x+y=a}$ και $\displaystyle{x-y=b}$ .
Το παραπάνω σύστημα γράφεται τώρα:
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \dfrac{a}{\cos(ab)}-a\tan(ab)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \\ \dfrac{b}{\cos(ab)}+b\tan(ab)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}-\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \end{matrix}\right}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των σχέσεων του συστήματος έχουμε:
$\displaystyle{a\cdot b\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(ab)}-\tan(ab) \right)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(ab)}+\tan(ab) \right)=\left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \right) \cdot \left(\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}-\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \right) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{ab \cdot \left(\dfrac{1}{\cos^2(ab)}-\tan^2(ab) \right)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}^2-\sqrt{\dfrac{\pi}{3}}^2 \Leftrightarrow ab\cdot 1=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow \boxed{x^2-y^2=\dfrac{\pi}{6}}}$
λόγω της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας $\displaystyle{\dfrac{1}{\cos^2\omega}=1+\tan^2\omega}$ .

Με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις και λόγω του ότι
$\displaystyle{\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ και
$\displaystyle{\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
το αρχικό σύστημα γίνεται:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x-y=\sqrt{\dfrac{3\pi}{2}} \\ 2y-x=\sqrt{\pi} \end{matrix}\right}$

Από την επίλυση του συστήματος αυτού προκύπτει τελικά ότι:

$\displaystyle{\boxed{x=\dfrac{\sqrt{\pi}(\sqrt{6}+1)}{3}}}$ και $\displaystyle{\boxed{y=\dfrac{\sqrt{\pi}(\sqrt{6}+4)}{6}}}$

Φιλικά,
Κωνσταντίνος Τερζής

Τριγωνομετρικό σύστημα

Τριγωνομετρικό σύστημα

Re: Τριγωνομετρικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση