Διοφαντική Εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες (x,y,z)

των ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
$\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:36 pm
Να βρεθούν όλες οι τριάδες των ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση
$\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.$

Απάντηση

ή αναδιάταξη αυτού.

Η εξίσωση γράφεται (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2003=

πρώτος. Δεδομένου ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι $\ge 0$ έπεται

$x+y+z=1, \, x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=2003$ ή ανάποδα.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε z=1-x-y

, άρα η δεύτερη γίνεται μετά τις απλοποιήσεις γίνεται

3x^2+3y^2-3x-3x+3xy=2002

. Αδύνατη αφού το 2002

δεν είναι πολλαπλάσιο του

. Συνεπώς μένει η

$x+y+z=2003, \, x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1$ .

Άρα από την δεύτερη (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2

. Όμως το

ως άθροισμα τριών τετραγώνων γράφεται μόνο ως 1^2+1^2+0^2

και κυκλικά. Άρα χωρίς βλάβη x-y=1, y-z=-1, z-x=0

, οπότε

. Πίσω στην x+y+z=2003

παίρνουμε

που επαληθεύει. Ελπίζω μην έχασα κάποιο πρόσημο.

#3

Καλησπέρα σας!

Μετά την λύση του κ. Μιχάλη, ας προσθέσω ότι πρόκειται για το 2ο ΘΕΜΑ του 17ου Nordic Mathematical Contest.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Διοφαντική Εξίσωση

Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση