ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα από το αρχείο του Θάνου.

Αν η εξίσωση $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα , αποδείξτε ότι $a^{2}+b^{2}\geq 8.$

#2

Γεια σου Τηλέμαχε!

Έστω $\displaystyle x$ μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, $\displaystyle x \ne 0$ ). Διαιρώντας με $\displaystyle {x^2}$ και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x} + \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} - 2 = \frac{{{a^2} + {b^2} - 8}}{4} \ge 0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 8.$

Το ίσον ισχύει όταν $\displaystyle a = - 2x$ και $\displaystyle b = - \frac{2}{x},$ οπότε

$\displaystyle {a^2} + {b^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1.$

Για $\displaystyle x = 1,$ το ελάχιστο λαμβάνεται όταν $\displaystyle \left( {a,b} \right) = \left( { - 2, - 2} \right),$ ενώ για $\displaystyle x = -1\,$ όταν $\displaystyle \left( {a,b} \right) = \left( {2,2} \right).$

#3

Αλλιώς:

Έστω

μια ρίζα της εξίσωσης. Έχουμε: $\displaystyle (a^2+b^2)(x^6 + x^2) \geqslant (ax^3 + bx)^2 = (x^2+1)^4$

Θέτοντας $t = x+\frac{1}{x}$ παίρνουμε:

$\displaystyle a^2 + b^2 \geqslant \frac{x^4t^4}{x^4(x^2 + \frac{1}{x^2})} = \frac{t^4}{t^2-2} = 8 + \frac{t^4-8t^2+16}{t^2-2} = 8 + \frac{(t^2-4)^2}{t-2}.$

Επειδή επιπλέον $t^2 \geqslant 4$ για κάθε

, τότε $a^2+b^2 \geqslant 8$ .

Η ισότητα ισχύει μόνο αν t^2 = 4

, το οποίο είναι ισοδύναμο με $x = \pm 1$ . Για αυτά τα

είναι άμεσο ότι ισχύει η ισότητα.

Pantelis.N · #4

Λίγο διαφορετικά από τον κύριο Δημήτρη προς το τέλος:

Από BCS είναι $(a^2+b^2)(x^6+x^2)\geq (ax^3+bx)^2$

Από την δοσμένη εξίσωση έχουμε $(ax^3+bx)^2=(x^2+1)^4\Rightarrow (a^2+b^2)(x^6+x^2)\geq (x^2+1)^4\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(x^2+1)^4}{x^6+x^2}$ και προφανώς $x\neq 0$ γιατί αν ισχύει x=0

προκύπτει

, άτοπο.

Σε αυτό το σημείο επειδή μας ζητείται να αποδείξουμε $a^2+b^2\geqslant 8$ αρκεί $(x^2+1)^4\geq 8(x^6+x^2)\Rightarrow x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1\geq 0\Rightarrow (x^8-2x^4+1)-4x^2(x^4-2x^2+1)\geq 0\Rightarrow (x^4-1)^2-4x^2(x^2-1)^2\Rightarrow (x^2-1)^2(x^4+2x^2+1-4x^2)=(x^2-1)^4\geq 0$ .
Η ισότητα ισχύει για x=1,x=-1

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Μέλη σε σύνδεση